EJERCICIO 2: (b) Escriba como producto de dos factores
(c) $x^4-16$
Solución: este también es una diferencia de cuadrados (ver ejercicio 2-a-d).
$x^4-16 = (x^2)^2-4^2 = (x^2-4)\cdot (x^2+4)$
Para verificar que factorizamos correctamente podemos desarrollar el producto $(x^2-4)\cdot (x^2+4)$ y comprobar que es igual a $x^4-16$.
Podríamos seguir factorizando ya que $x^2-4$ también es una diferencia de cuadrados:
$ (x^2-4)\cdot (x^2+4) = (x-2)\cdot (x+2)\cdot (x^2+4)$
Pero como el enunciado pide escribir como producto de dos factores lo podemos dejar así:
Respuesta: $\boxed{x^4-16 = (x^2-4)\cdot (x^2+4) }$
Práctica 0 ejercicio 2ba - versión 2017
EJERCICIO 2: (b) Escriba como producto de dos factores
(a) $x^2-81$
Solución: este es un caso de factoreo llamado diferencia de cuadrados (ver ejercicio 2-a-d).
$x^2-81 = x^2-9^2 = (x-9)\cdot (x+9)$
Para verificar que factorizamos correctamente podemos desarrollar el producto $(x-9)\cdot (x+9)$ y comprobar que es igual a $x^2-81$.
Respuesta: $\boxed{x^2-81 = (x-9)\cdot (x+9) }$
(a) $x^2-81$
Solución: este es un caso de factoreo llamado diferencia de cuadrados (ver ejercicio 2-a-d).
$x^2-81 = x^2-9^2 = (x-9)\cdot (x+9)$
Para verificar que factorizamos correctamente podemos desarrollar el producto $(x-9)\cdot (x+9)$ y comprobar que es igual a $x^2-81$.
Respuesta: $\boxed{x^2-81 = (x-9)\cdot (x+9) }$
Práctica 3 ejercicio 9a - versión 2017
EJERCICIO 9: Calcule, si existe,los siguientes límites
(a) $\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\cos (n) +5}{n}$
Solución: como $\cos(n) $ está acotada entre -1 y 1 resulta que $\cos(n)+5 $ está acotada entre 4 y 6:
$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\cos (n) +5}{n}= \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{n}(\cos (n) +5)=0$
(a) $\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\cos (n) +5}{n}$
Solución: como $\cos(n) $ está acotada entre -1 y 1 resulta que $\cos(n)+5 $ está acotada entre 4 y 6:
$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\cos (n) +5}{n}= \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{1}{n}(\cos (n) +5)=0$
Práctica 3 ejercicio 5g - versión 2017
EJERCICIO 5: Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
(g) $g_n = \dfrac{-n}{\sqrt{n^2-n}+n}$
Solución:
$\lim\limits_{n\to \infty}g_n=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{-n}{\sqrt{n^2-n}+n} = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(-1)\cdot n}{\sqrt{n^2\left(1-\dfrac{1}{n}\right)} + n} = $
$ \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(-1)\cdot n}{\sqrt{n^2}\sqrt{1-\dfrac{1}{n}} + n} = $
$ \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(-1)\cdot n}{n\cdot \sqrt{1-\dfrac{1}{n}} + n} = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(-1)\cdot \cancel{n}}{\cancel{n}\cdot\underbrace{\left( \sqrt{1-\dfrac{1}{n}} + 1\right)}_{\to 2}} = -\dfrac{1}{2}$
(g) $g_n = \dfrac{-n}{\sqrt{n^2-n}+n}$
Solución:
$\lim\limits_{n\to \infty}g_n=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{-n}{\sqrt{n^2-n}+n} = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(-1)\cdot n}{\sqrt{n^2\left(1-\dfrac{1}{n}\right)} + n} = $
$ \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(-1)\cdot n}{\sqrt{n^2}\sqrt{1-\dfrac{1}{n}} + n} = $
$ \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(-1)\cdot n}{n\cdot \sqrt{1-\dfrac{1}{n}} + n} = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(-1)\cdot \cancel{n}}{\cancel{n}\cdot\underbrace{\left( \sqrt{1-\dfrac{1}{n}} + 1\right)}_{\to 2}} = -\dfrac{1}{2}$
Práctica 3 ejercicio 5f - versión 2017
EJERCICIO 5: Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
(f) $f_n = \sqrt{\dfrac{4n^2-1}{9n^2+2}}$
Solución:
$\lim\limits_{n\to \infty}f_n=\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt{\dfrac{4n^2-1}{9n^2+2}} = \lim\limits_{n\to \infty}\sqrt{\dfrac{\cancel{n^2}\left(4-\dfrac{1}{n^2}\right)}{\cancel{n^2}\left(9+\dfrac{2}{n^2}\right)}} = $
$ \lim\limits_{n\to \infty}\sqrt{\dfrac{4-\dfrac{1}{n^2}}{9+\dfrac{2}{n^2}}} =\sqrt{\dfrac{4}{9}} =\dfrac{2}{3}$
(f) $f_n = \sqrt{\dfrac{4n^2-1}{9n^2+2}}$
Solución:
$\lim\limits_{n\to \infty}f_n=\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt{\dfrac{4n^2-1}{9n^2+2}} = \lim\limits_{n\to \infty}\sqrt{\dfrac{\cancel{n^2}\left(4-\dfrac{1}{n^2}\right)}{\cancel{n^2}\left(9+\dfrac{2}{n^2}\right)}} = $
$ \lim\limits_{n\to \infty}\sqrt{\dfrac{4-\dfrac{1}{n^2}}{9+\dfrac{2}{n^2}}} =\sqrt{\dfrac{4}{9}} =\dfrac{2}{3}$
Práctica 3 ejercicio 5e - versión 2017
EJERCICIO 5: Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
(e) $e_n = \dfrac{\sqrt{n^3}+2}{n^2-1}$
Solución:
$\lim\limits_{n\to \infty}e_n=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\sqrt{n^3}+2}{n^2-1} = \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\sqrt{n^3} \left(1+\dfrac{2}{\sqrt{n^3}}\right)}{n^2\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)} = $
$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\sqrt{n}^3 \left(1+\dfrac{2}{\sqrt{n^3}}\right)}{\sqrt{n}^4\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)} = \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\left(1+\dfrac{2}{\sqrt{n^3}}\right)}{\sqrt{n}\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)} =$
$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\overbrace{\left(1+\dfrac{2}{\sqrt{n^3}}\right)}^{\to 1}}{\underbrace{\sqrt{n}}_{\to +\infty}\underbrace{\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)}_{\to 1}} = 0$
(e) $e_n = \dfrac{\sqrt{n^3}+2}{n^2-1}$
Solución:
$\lim\limits_{n\to \infty}e_n=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\sqrt{n^3}+2}{n^2-1} = \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\sqrt{n^3} \left(1+\dfrac{2}{\sqrt{n^3}}\right)}{n^2\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)} = $
$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\sqrt{n}^3 \left(1+\dfrac{2}{\sqrt{n^3}}\right)}{\sqrt{n}^4\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)} = \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\left(1+\dfrac{2}{\sqrt{n^3}}\right)}{\sqrt{n}\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)} =$
$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\overbrace{\left(1+\dfrac{2}{\sqrt{n^3}}\right)}^{\to 1}}{\underbrace{\sqrt{n}}_{\to +\infty}\underbrace{\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)}_{\to 1}} = 0$
Práctica 3 ejercicio 5d - versión 2017
EJERCICIO 5: Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
(d) $d_n = \dfrac{-4n^3+2n^2-3n-1}{5n^2+4}$
Solución:
$\lim\limits_{n\to \infty}d_n=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{-4n^3+2n^2-3n-1}{5n^2+4} = \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{n^{\cancel{3}} \left(-4+\dfrac{2}{n}-\dfrac{3}{n^2}-\dfrac{1}{n^3}\right)}{\cancel{n^2}\left(5+\dfrac{4}{n^2}\right)} = $
$ \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\overbrace{n}^{\to +\infty} \overbrace{\left(-4+\dfrac{2}{n}-\dfrac{3}{n^2}-\dfrac{1}{n^3}\right)}^{\to -4}}{\underbrace{5+\dfrac{4}{n^2}}_{\to 5}} = -\infty$
(d) $d_n = \dfrac{-4n^3+2n^2-3n-1}{5n^2+4}$
Solución:
$\lim\limits_{n\to \infty}d_n=\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{-4n^3+2n^2-3n-1}{5n^2+4} = \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{n^{\cancel{3}} \left(-4+\dfrac{2}{n}-\dfrac{3}{n^2}-\dfrac{1}{n^3}\right)}{\cancel{n^2}\left(5+\dfrac{4}{n^2}\right)} = $
$ \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\overbrace{n}^{\to +\infty} \overbrace{\left(-4+\dfrac{2}{n}-\dfrac{3}{n^2}-\dfrac{1}{n^3}\right)}^{\to -4}}{\underbrace{5+\dfrac{4}{n^2}}_{\to 5}} = -\infty$
Práctica 0 ejercicio 2d - versión 2017
EJERCICIO 2: (a) Desarrolle
(d) $(x-y)\cdot (x+y)$
Solución: Aquí también debemos aplicar la propiedad distributiva al igual que en el punto anterior.
$(x-y)\cdot (x+y) = x^2 + x\cdot y -y\cdot x - y^2 = x^2 + xy -yx - y^2 = $
como el producto es conmutativo, entonces $xy = yx$:
$ = x^2 + \cancel{xy} -\cancel{yx} - y^2 = x^2 - y^2 $
De aquí se deduce que si se multiplica un binomio por su conjugado el resultado será la resta de los cuadrados de los términos del binomio, se decir:
Respuesta: $\boxed{ (x-y)\cdot (x+y) =x^2 - y^2}$
(d) $(x-y)\cdot (x+y)$
Solución: Aquí también debemos aplicar la propiedad distributiva al igual que en el punto anterior.
$(x-y)\cdot (x+y) = x^2 + x\cdot y -y\cdot x - y^2 = x^2 + xy -yx - y^2 = $
como el producto es conmutativo, entonces $xy = yx$:
$ = x^2 + \cancel{xy} -\cancel{yx} - y^2 = x^2 - y^2 $
De aquí se deduce que si se multiplica un binomio por su conjugado el resultado será la resta de los cuadrados de los términos del binomio, se decir:
Respuesta: $\boxed{ (x-y)\cdot (x+y) =x^2 - y^2}$
Práctica 0 ejercicio 2c - versión 2017
EJERCICIO 2: (a) Desarrolle
(c) $(x-3)\cdot (x+1)$
Solución: Aquí debemos aplicar la propiedad distributiva multiplicando todos los términos del primer paréntesis por todos los términos del segundo paréntesis.
$(x-3)\cdot (x+1) = x^2 + x\cdot 1 -3\cdot x - 3\cdot 1$
$= x^2 + x -3x - 3$
$= x^2-2x - 3$
Respuesta: $\boxed{ (x-3)\cdot (x+1) = x^2-2x - 3}$
(c) $(x-3)\cdot (x+1)$
Solución: Aquí debemos aplicar la propiedad distributiva multiplicando todos los términos del primer paréntesis por todos los términos del segundo paréntesis.
$(x-3)\cdot (x+1) = x^2 + x\cdot 1 -3\cdot x - 3\cdot 1$
$= x^2 + x -3x - 3$
$= x^2-2x - 3$
Respuesta: $\boxed{ (x-3)\cdot (x+1) = x^2-2x - 3}$
Práctica 0 ejercicio 2b - versión 2017
EJERCICIO 2: (a) Desarrolle
(b) $(x+7)^2$
Solución: Recordar el desarrollo del cuadrado de un binomio:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab+ b^2$
y si es una resta:
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab+ b^2$
Entonces en nuestro caso nos quedaría:
$(x+7)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 7+ 7^2$
$ = x^2 + 14x+ 49$
Respuesta: $\boxed{(x+7)^2 = x^2 + 14x+ 49}$
(b) $(x+7)^2$
Solución: Recordar el desarrollo del cuadrado de un binomio:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab+ b^2$
y si es una resta:
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab+ b^2$
Entonces en nuestro caso nos quedaría:
$(x+7)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 7+ 7^2$
$ = x^2 + 14x+ 49$
Respuesta: $\boxed{(x+7)^2 = x^2 + 14x+ 49}$
Práctica 0 ejercicio 2a - versión 2017
EJERCICIO 2: (a) Desarrolle
(a) $(x-5)^2$
Solución: Recordar el desarrollo del cuadrado de un binomio:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab+ b^2$
y si es una resta:
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab+ b^2$
Entonces en nuestro caso nos quedaría:
$(x-5)^2 = x^2 - 2\cdot x\cdot 5+ 5^2$
$ = x^2 - 10x+ 25$
Respuesta: $\boxed{ (x-5)^2 = x^2 - 10x+ 25}$
(a) $(x-5)^2$
Solución: Recordar el desarrollo del cuadrado de un binomio:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab+ b^2$
y si es una resta:
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab+ b^2$
Entonces en nuestro caso nos quedaría:
$(x-5)^2 = x^2 - 2\cdot x\cdot 5+ 5^2$
$ = x^2 - 10x+ 25$
Respuesta: $\boxed{ (x-5)^2 = x^2 - 10x+ 25}$
Práctica 1 ejercicio 5a iii - versión 2017
EJERCICIO 5: (a) Encuentre en cada caso, una función lineal que satisfaga:
iii) $f(0)=4$ y $f(3)=0$
Solución:
$$m\cdot 0 + b = 4$$
$$m\cdot 3 + b = 0$$
De la primera ecuación tenemos que $b=4$. Si reemplazamos en la segunda ecuación podemos despejar el valor de $m$:
$$ 3m+ b = 0 $$
$$ 3m+ 4 = 0 $$
$$ 3m = -4 $$
$$ m = -\dfrac{4}{3} $$
Por lo tanto la ecuación de la función lineal es:
$$f(x)=-\dfrac{4}{3} x+4$$
iii) $f(0)=4$ y $f(3)=0$
Solución:
$$m\cdot 0 + b = 4$$
$$m\cdot 3 + b = 0$$
De la primera ecuación tenemos que $b=4$. Si reemplazamos en la segunda ecuación podemos despejar el valor de $m$:
$$ 3m+ b = 0 $$
$$ 3m+ 4 = 0 $$
$$ 3m = -4 $$
$$ m = -\dfrac{4}{3} $$
Por lo tanto la ecuación de la función lineal es:
$$f(x)=-\dfrac{4}{3} x+4$$
Práctica 1 ejercicio 5a ii - versión 2017
EJERCICIO 5: (a) Encuentre en cada caso, una función lineal que satisfaga:
ii) $f(-1)=3$ y $f(80)=3$
Solución: Haciendo lo mismo que en el ejercicio anterior nos quedan las siguientes dos ecuaciones:
$$m\cdot (-1) + b = 3$$
$$m\cdot 80 + b = 3$$
Nuevamente podemos restar las ecuaciones para despejar los valores de $m$ y $b$:
$$ (m\cdot (-1) + b)-(m\cdot 80 + b) = 3-3 $$
$$ -m + \cancel{b}-80m -\cancel{b} = 0 $$
$$ -81m = 0 $$
$$ m = 0 $$
Reemplazando este valor de $m$ en cualquiera de las dos ecuaciones nos queda que $b=3$.
Entonces la función lineal es:
$$f(x)=3$$
ii) $f(-1)=3$ y $f(80)=3$
Solución: Haciendo lo mismo que en el ejercicio anterior nos quedan las siguientes dos ecuaciones:
$$m\cdot (-1) + b = 3$$
$$m\cdot 80 + b = 3$$
Nuevamente podemos restar las ecuaciones para despejar los valores de $m$ y $b$:
$$ (m\cdot (-1) + b)-(m\cdot 80 + b) = 3-3 $$
$$ -m + \cancel{b}-80m -\cancel{b} = 0 $$
$$ -81m = 0 $$
$$ m = 0 $$
Reemplazando este valor de $m$ en cualquiera de las dos ecuaciones nos queda que $b=3$.
Entonces la función lineal es:
$$f(x)=3$$
Práctica 1 ejercicio 5a i - versión 2017
EJERCICIO 5: (a) Encuentre en cada caso, una función lineal que satisfaga:
i). $f(1)=5$ y $f(-3)=2$
Solución: La función lineal es una función de la forma: $f(x)= mx+b$ donde $m$ es la pendiente de la recta y $b$ es la ordenada al origen. Entonces debemos encontrar los valores de $m$ y $b$ para que la función cumpla con las dos condiciones que nos piden. Si $f(1)=5$ entonces el gráfico de la función pasa por el punto $(x,y)=(1,5)$.
La función que buscamos es $f(x)= mx+b$ y como $f(1)=5$ tenemos que:
$$f(1)=m\cdot 1+b =5$$
La función que nos piden también tiene que cumplir que $f(-3)=2$, es decir:
$$f(-3)=m\cdot (-3)+b =2$$
Tenemos entonces dos ecuaciones y dos incógnitas. Una forma fácil de resolver este sistema de ecuaciones es restando miembro a miembro:
$$ (m\cdot 1+b )-(m\cdot (-3)+b) = 5- 2$$
$$ m+\cancel{b} +3m- \cancel{b} = 3$$
$$4m = 3$$
$$m = \dfrac{3}{4}$$
Si reemplazamos este valor de $m$ en cualquiera de las dos ecuaciones que teníamos podremos despejar el valor de $b$. Por ejemplo, si reemplazamos en la primer ecuación:
$$f(1)=m\cdot 1+b =5$$
$$\dfrac{3}{4}+b =5$$
$$b =5-\dfrac{3}{4}$$
$$b =\dfrac{17}{4}$$
Por lo tanto la función lineal nos queda:
$$f(x)= \dfrac{3}{4}x+\dfrac{17}{4}$$
i). $f(1)=5$ y $f(-3)=2$
Solución: La función lineal es una función de la forma: $f(x)= mx+b$ donde $m$ es la pendiente de la recta y $b$ es la ordenada al origen. Entonces debemos encontrar los valores de $m$ y $b$ para que la función cumpla con las dos condiciones que nos piden. Si $f(1)=5$ entonces el gráfico de la función pasa por el punto $(x,y)=(1,5)$.
La función que buscamos es $f(x)= mx+b$ y como $f(1)=5$ tenemos que:
$$f(1)=m\cdot 1+b =5$$
La función que nos piden también tiene que cumplir que $f(-3)=2$, es decir:
$$f(-3)=m\cdot (-3)+b =2$$
Tenemos entonces dos ecuaciones y dos incógnitas. Una forma fácil de resolver este sistema de ecuaciones es restando miembro a miembro:
$$ (m\cdot 1+b )-(m\cdot (-3)+b) = 5- 2$$
$$ m+\cancel{b} +3m- \cancel{b} = 3$$
$$4m = 3$$
$$m = \dfrac{3}{4}$$
Si reemplazamos este valor de $m$ en cualquiera de las dos ecuaciones que teníamos podremos despejar el valor de $b$. Por ejemplo, si reemplazamos en la primer ecuación:
$$f(1)=m\cdot 1+b =5$$
$$\dfrac{3}{4}+b =5$$
$$b =5-\dfrac{3}{4}$$
$$b =\dfrac{17}{4}$$
Por lo tanto la función lineal nos queda:
$$f(x)= \dfrac{3}{4}x+\dfrac{17}{4}$$
Práctica 0 ejercicio 1m - versión 2017
EJERCICIO 1: Calcule
(m) $ \left(\dfrac{1}{4} - \left( \dfrac{2}{3} -\dfrac{1}{2} \right)^{2} \right)^{-2}$
Solución:
\begin{eqnarray*}
\left(\dfrac{1}{4} - \left( \dfrac{2}{3} -\dfrac{1}{2} \right)^{2} \right)^{-2} & = & \left(\dfrac{1}{4} - \left( \dfrac{4-3}{6} \right)^{2} \right)^{-2} \\
& = & \left(\dfrac{1}{4} - \left( \dfrac{1}{6} \right)^{2} \right)^{-2} \\
& = & \left(\dfrac{1}{4} - \left( \dfrac{1^{2}}{6^{2}} \right) \right)^{-2} \\
& = & \left(\dfrac{1}{4} - \left( \dfrac{1}{36} \right) \right)^{-2} \\
& = & \left(\dfrac{9-1}{36} \right)^{-2} \\
& = & \left(\dfrac{8}{36} \right)^{-2} \\
& = & \left(\dfrac{2}{9} \right)^{-2} \\
& = & \left(\dfrac{9}{2} \right)^{2} \\
& = & \dfrac{9^{2}}{2^{2}} \\
& = & \dfrac{81}{4} \\
\end{eqnarray*}
$$\boxed{ \left(\dfrac{1}{4} - \left( \dfrac{2}{3} -\dfrac{1}{2} \right)^{2} \right)^{-2} = \dfrac{81}{4} }$$
(m) $ \left(\dfrac{1}{4} - \left( \dfrac{2}{3} -\dfrac{1}{2} \right)^{2} \right)^{-2}$
Solución:
\begin{eqnarray*}
\left(\dfrac{1}{4} - \left( \dfrac{2}{3} -\dfrac{1}{2} \right)^{2} \right)^{-2} & = & \left(\dfrac{1}{4} - \left( \dfrac{4-3}{6} \right)^{2} \right)^{-2} \\
& = & \left(\dfrac{1}{4} - \left( \dfrac{1}{6} \right)^{2} \right)^{-2} \\
& = & \left(\dfrac{1}{4} - \left( \dfrac{1^{2}}{6^{2}} \right) \right)^{-2} \\
& = & \left(\dfrac{1}{4} - \left( \dfrac{1}{36} \right) \right)^{-2} \\
& = & \left(\dfrac{9-1}{36} \right)^{-2} \\
& = & \left(\dfrac{8}{36} \right)^{-2} \\
& = & \left(\dfrac{2}{9} \right)^{-2} \\
& = & \left(\dfrac{9}{2} \right)^{2} \\
& = & \dfrac{9^{2}}{2^{2}} \\
& = & \dfrac{81}{4} \\
\end{eqnarray*}
$$\boxed{ \left(\dfrac{1}{4} - \left( \dfrac{2}{3} -\dfrac{1}{2} \right)^{2} \right)^{-2} = \dfrac{81}{4} }$$
Práctica 0 ejercicio 1l - versión 2017
EJERCICIO 1: Calcule
(l) $ \left(\dfrac{4}{9}\right)^{-\dfrac{1}{2}} + \left(\dfrac{1}{6}\right)^{\dfrac{3}{4}} $
Solución:
\begin{eqnarray*}
\left(\dfrac{4}{9}\right)^{-\dfrac{1}{2}} + \left(\dfrac{1}{6}\right)^{\dfrac{3}{4}} & = & \left(\dfrac{9}{4}\right)^{\dfrac{1}{2}} + \left(\dfrac{1}{6}\right)^{\dfrac{3}{4}} \\
& = & \left(\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}\right) + \left(\dfrac{1^{\frac{3}{4}}}{6^{\frac{3}{4}}}\right) \\
& = & \left(\dfrac{3}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{\sqrt[4]{6^{3}}}\right) \\
& = & \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{\sqrt[4]{216}} \\
& = & \dfrac{3\sqrt[4]{216} +2}{2\sqrt[4]{216}} \\
\dfrac{3\sqrt[4]{216} +2}{2\sqrt[4]{216}} \cdot \dfrac{\sqrt[4]{216}}{\sqrt[4]{216}} \\
\end{eqnarray*}
$$\boxed{ \left(\dfrac{4}{9}\right)^{-\dfrac{1}{2}} + \left(\dfrac{1}{6}\right)^{\dfrac{3}{4}}= \dfrac{3\sqrt[4]{216} +2}{2\sqrt[4]{216}} }$$
(l) $ \left(\dfrac{4}{9}\right)^{-\dfrac{1}{2}} + \left(\dfrac{1}{6}\right)^{\dfrac{3}{4}} $
Solución:
\begin{eqnarray*}
\left(\dfrac{4}{9}\right)^{-\dfrac{1}{2}} + \left(\dfrac{1}{6}\right)^{\dfrac{3}{4}} & = & \left(\dfrac{9}{4}\right)^{\dfrac{1}{2}} + \left(\dfrac{1}{6}\right)^{\dfrac{3}{4}} \\
& = & \left(\dfrac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}\right) + \left(\dfrac{1^{\frac{3}{4}}}{6^{\frac{3}{4}}}\right) \\
& = & \left(\dfrac{3}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{\sqrt[4]{6^{3}}}\right) \\
& = & \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{\sqrt[4]{216}} \\
& = & \dfrac{3\sqrt[4]{216} +2}{2\sqrt[4]{216}} \\
\dfrac{3\sqrt[4]{216} +2}{2\sqrt[4]{216}} \cdot \dfrac{\sqrt[4]{216}}{\sqrt[4]{216}} \\
\end{eqnarray*}
$$\boxed{ \left(\dfrac{4}{9}\right)^{-\dfrac{1}{2}} + \left(\dfrac{1}{6}\right)^{\dfrac{3}{4}}= \dfrac{3\sqrt[4]{216} +2}{2\sqrt[4]{216}} }$$
Práctica 0 ejercicio 1k - versión 2017
EJERCICIO 1: Calcule
(k) $ \left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{5} \right)\left(\dfrac{5}{2}:\dfrac{1}{4} \right)$
Solución:
\begin{eqnarray*}
\left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{5} \right)\left(\dfrac{5}{2}:\dfrac{1}{4} \right) & = & \left(\dfrac{5+16}{40}\right)\left(\dfrac{5}{\cancel{2}}\cdot\dfrac{\stackrel{2}{\cancel{4}}}{1} \right) \\
& = & \dfrac{21}{40} \cdot 10 \\
& = & \dfrac{21}{4} \\
\end{eqnarray*}
$$\boxed{ \left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{5} \right)\left(\dfrac{5}{2}:\dfrac{1}{4} \right) = \dfrac{21}{4} }$$
(k) $ \left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{5} \right)\left(\dfrac{5}{2}:\dfrac{1}{4} \right)$
Solución:
\begin{eqnarray*}
\left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{5} \right)\left(\dfrac{5}{2}:\dfrac{1}{4} \right) & = & \left(\dfrac{5+16}{40}\right)\left(\dfrac{5}{\cancel{2}}\cdot\dfrac{\stackrel{2}{\cancel{4}}}{1} \right) \\
& = & \dfrac{21}{40} \cdot 10 \\
& = & \dfrac{21}{4} \\
\end{eqnarray*}
$$\boxed{ \left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{2}{5} \right)\left(\dfrac{5}{2}:\dfrac{1}{4} \right) = \dfrac{21}{4} }$$
Práctica 0 ejercicio 1j - versión 2017
EJERCICIO 1: Calcule
(j) $ \left[\left(\dfrac{2}{5} \right)^{6} : \left( \dfrac{2}{5} \right)^{4}\right]^{-1}$
Solución:
Recordar que en cociente de potencias de igual base los exponentes se restan, es decir $a^n : a^m = a^{n-m}$.
\begin{eqnarray*}
\left[\left(\dfrac{2}{5} \right)^{6} : \left( \dfrac{2}{5} \right)^{4}\right]^{-1} & = & \left[\left(\dfrac{2}{5} \right)^{6-4} \right]^{-1} \\
& = & \left[\left(\dfrac{2}{5} \right)^{2} \right]^{-1} \\
& = & \left[\left(\dfrac{4}{25} \right) \right]^{-1} \\
& = & \dfrac{25}{4} \\
\end{eqnarray*}
$$\boxed{ \left[\left(\dfrac{2}{5} \right)^{6} : \left( \dfrac{2}{5} \right)^{4}\right]^{-1} = \dfrac{25}{4} }$$
(j) $ \left[\left(\dfrac{2}{5} \right)^{6} : \left( \dfrac{2}{5} \right)^{4}\right]^{-1}$
Solución:
Recordar que en cociente de potencias de igual base los exponentes se restan, es decir $a^n : a^m = a^{n-m}$.
\begin{eqnarray*}
\left[\left(\dfrac{2}{5} \right)^{6} : \left( \dfrac{2}{5} \right)^{4}\right]^{-1} & = & \left[\left(\dfrac{2}{5} \right)^{6-4} \right]^{-1} \\
& = & \left[\left(\dfrac{2}{5} \right)^{2} \right]^{-1} \\
& = & \left[\left(\dfrac{4}{25} \right) \right]^{-1} \\
& = & \dfrac{25}{4} \\
\end{eqnarray*}
$$\boxed{ \left[\left(\dfrac{2}{5} \right)^{6} : \left( \dfrac{2}{5} \right)^{4}\right]^{-1} = \dfrac{25}{4} }$$
Práctica 0 ejercicio 1i - versión 2017
EJERCICIO 1: Calcule
(i) $ \left[ \left(\dfrac{1}{7} \right)^{6} \left( \dfrac{1}{7} \right)^{3} \right]^{\cfrac{2}{9}}$
Solución:
Recordar que en producto de potencias de igual base los exponentes se suman, es decir $a^n\cdot a^m = a^{n+m}$.
Otra propiedad que vamos a usar es "potencia de potencia", en este caso los exponentes se multiplican: $(a^n)^m = a^{n\cdot m}$
\begin{eqnarray*}
\left[ \left(\dfrac{1}{7} \right)^{6} \left( \dfrac{1}{7} \right)^{3} \right]^{\frac{2}{9}} & = & \left[ \left(\dfrac{1}{7} \right)^{6+3} \right]^{\frac{2}{9}} \\
& = & \left[ \left(\dfrac{1}{7} \right)^{9} \right]^{\frac{2}{9}} \\
& = & \left(\dfrac{1}{7} \right)^{9\cdot\frac{2}{9} } \\
& = & \left(\dfrac{1}{7} \right)^{\cancel{9}\cdot\frac{2}{\cancel{9}} } \\
& = & \left(\dfrac{1}{7} \right)^{2 } \\
& = & \dfrac{1}{49} \\
\end{eqnarray*}
$$\boxed{ \left[ \left(\dfrac{1}{7} \right)^{6} \left( \dfrac{1}{7} \right)^{3} \right]^{\frac{2}{9}} = \dfrac{1}{49} }$$
(i) $ \left[ \left(\dfrac{1}{7} \right)^{6} \left( \dfrac{1}{7} \right)^{3} \right]^{\cfrac{2}{9}}$
Solución:
Recordar que en producto de potencias de igual base los exponentes se suman, es decir $a^n\cdot a^m = a^{n+m}$.
Otra propiedad que vamos a usar es "potencia de potencia", en este caso los exponentes se multiplican: $(a^n)^m = a^{n\cdot m}$
\begin{eqnarray*}
\left[ \left(\dfrac{1}{7} \right)^{6} \left( \dfrac{1}{7} \right)^{3} \right]^{\frac{2}{9}} & = & \left[ \left(\dfrac{1}{7} \right)^{6+3} \right]^{\frac{2}{9}} \\
& = & \left[ \left(\dfrac{1}{7} \right)^{9} \right]^{\frac{2}{9}} \\
& = & \left(\dfrac{1}{7} \right)^{9\cdot\frac{2}{9} } \\
& = & \left(\dfrac{1}{7} \right)^{\cancel{9}\cdot\frac{2}{\cancel{9}} } \\
& = & \left(\dfrac{1}{7} \right)^{2 } \\
& = & \dfrac{1}{49} \\
\end{eqnarray*}
$$\boxed{ \left[ \left(\dfrac{1}{7} \right)^{6} \left( \dfrac{1}{7} \right)^{3} \right]^{\frac{2}{9}} = \dfrac{1}{49} }$$
Práctica 0 ejercicio 1h - versión 2017
EJERCICIO 1: Calcule
(h) $ \left( -\dfrac{1}{5} \right)^{0} + \sqrt[3]{\left( -\dfrac{27}{8} \right) } $
Solución:
\begin{eqnarray*}
\left( -\dfrac{1}{5} \right)^{0} + \sqrt[3]{\left( -\dfrac{27}{8} \right) } & = & 1 + \dfrac{\sqrt[3]{-27}}{\sqrt[3]{8}} \\
& = & 1 + \dfrac{(-3)}{2} \\
& = & \dfrac{2-3}{2} \\
& = & \dfrac{-1}{2} \\
\end{eqnarray*}
$$\boxed{ \left( -\dfrac{1}{5} \right)^{0} + \sqrt[3]{\left( -\dfrac{27}{8} \right) } = -\dfrac{1}{2} }$$
(h) $ \left( -\dfrac{1}{5} \right)^{0} + \sqrt[3]{\left( -\dfrac{27}{8} \right) } $
Solución:
\begin{eqnarray*}
\left( -\dfrac{1}{5} \right)^{0} + \sqrt[3]{\left( -\dfrac{27}{8} \right) } & = & 1 + \dfrac{\sqrt[3]{-27}}{\sqrt[3]{8}} \\
& = & 1 + \dfrac{(-3)}{2} \\
& = & \dfrac{2-3}{2} \\
& = & \dfrac{-1}{2} \\
\end{eqnarray*}
$$\boxed{ \left( -\dfrac{1}{5} \right)^{0} + \sqrt[3]{\left( -\dfrac{27}{8} \right) } = -\dfrac{1}{2} }$$
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