Práctica 3 ejercicio 10c

EJERCICIO 10: Calcule el límite de las siguientes sucesiones

(c) $\left(\dfrac{3n-2}{3n+1}\right)^{2n+1}$

Solución:
En este ejercicio nos encontramos nuevamente con una indeterminación del tipo "$1^{\infty}$". Para salvarla utilizaremos el mismo procedimiento del ítem a.(Para una explicación mas detallada sobre el procedimiento ver ítem a).

$\lim\limits_{n\to \infty} \left(\dfrac{3n-2}{3n+1}\right)^{2n+1} = \lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{3n-2}{3n+1}-1\right)^{2n+1}=$

$= \lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{(3n-2)-(3n+1)}{3n+1}\right)^{2n+1} =\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{\cancel{3n}-2-\cancel{3n}-1}{3n+1}\right)^{2n+1} =$

$\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{-3}{3n+1}\right)^{2n+1}=\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{1}{\dfrac{3n+1}{-3}}\right)^{2n+1} = $

$= \lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{1}{\dfrac{3n+1}{-3}}\right)^{\dfrac{3n+1}{-3}\cdot\dfrac{-3}{3n+1}\cdot \textstyle{2n+1}}=$

$= \lim\limits_{n\to \infty} \left[ \left(1+\dfrac{1}{\dfrac{3n+1}{-3}}\right)^{\dfrac{3n+1}{-3}}\right]^{\dfrac{-3}{3n+1}\cdot \textstyle{2n+1}}=$

$= \lim\limits_{n\to \infty} \left[ \left(1+\dfrac{1}{\dfrac{3n+1}{-3}}\right)^{\dfrac{3n+1}{-3}}\right]^{\dfrac{-3(2n+1)}{3n+1}}=$

$= \lim\limits_{n\to \infty} \left[ \left(1+\dfrac{1}{\dfrac{3n+1}{-3}}\right)^{\dfrac{3n+1}{-3}}\right]^{\dfrac{-6n-3}{3n+1}}=$

La expresión que está entre corchetes tiende al número $e$ (pues $\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{3n+1}{-3}=-\infty$). Por otro lado:

$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{-6n-3}{3n+1} =\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\cancel{n}(-6-\dfrac{3}{n})}{\cancel{n}\left(3-\dfrac{1}{n}\right) } = -2 $

Entonces nuestro límite es:

$=\lim\limits_{n\to \infty} \left[\underbrace{ \left(1+\dfrac{1}{\dfrac{3n+1}{-3}}\right)^{\dfrac{3n+1}{-3}}}_{\to e}\right]^{\overbrace{\dfrac{-6n-3}{3n+1}}^{\to -2}} = e^{-2} = \dfrac{1}{e^2}$



Respuesta:

$$\boxed{\lim\limits_{n\to \infty} \left(\dfrac{3n-2}{3n+1}\right)^{2n+1} = e^{-2} }$$