Práctica 3 ejercicio 10a

EJERCICIO 10: Calcule el límite de las siguientes sucesiones

(a) $\left(\dfrac{3n+1}{3n-5}\right)^{n}$

Solución:

Si bien dentro del paréntesis tenemos una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$ podemos salvarla fácilmente y ver que tiende a 1. Como el exponente tiende a $\infty$ estamos ante una indeterminación del tipo $1^{\infty}$.
Para salvar este tipo de indeterminación debemos llevarla a la "forma del número $e$", es decir, debemos llegar un expresión del tipo:

$$\lim\limits_{n\to \infty} \left( 1+\dfrac{1}{b_n} \right)^{b_n}$$

Si $b_n\to \infty$ entonces:

$$\lim\limits_{n\to \infty} \left( 1+\dfrac{1}{b_n} \right)^{b_n}= e \hspace{20px}(*)$$

Cuidado: no sólo debe tener la forma sino que el exponente $b_n$ debe tender a infinito.

Para que nuestra sucesión se parezca a $(*)$ nos falta un 1 sumando, así que lo agregamos sumando y restando para no cambiar la expresión:

$\lim\limits_{n\to \infty} \left(\dfrac{3n+1}{3n-5}\right)^{n} = \lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{3n+1}{3n-5}-1\right)^{n}=$

El 1 que está sumando lo dejamos tal cual está y a la expresión que teníamos le restamos el otro 1:

$= \lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{3n+1}{3n-5}-1\right)^{n}=\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{(3n+1)-(3n-5)}{3n-5}\right)^{n} =$

$\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{\cancel{3n}+1-\cancel{3n}+5}{3n-5}\right)^{n} =\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{6}{3n-5}\right)^{n} =$

Ahora se parece un poco mas pero la fracción que está sumada al 1 tiene como numerador otro 1, en nuestro caso tenemos un 6. Lo que podemos hacer es dividir numerador y denominador por el mismo número, en este caso por 6:

$ =\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{6}{3n-5}\right)^{n}=\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{1}{\dfrac{3n-5}{6}}\right)^{n} = $

Ahora lo único que nos faltaría es que en el exponente aparezca exactamente lo mismo que está en el denominador de la fracción (es lo que llamamos $b_n$ en $(*)$), en nuestro caso $b_n$ sería $\dfrac{3n-5}{6}$. Para que aparezca en el exponente sin modificar la expresión vamos a multiplicar y dividir el exponente por $\dfrac{3n-5}{6}$ (recordar que dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por el inverso):

$= \lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{1}{\dfrac{3n-5}{6}}\right)^{n} = \lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{1}{\dfrac{3n-5}{6}}\right)^{\dfrac{3n-5}{6}\cdot\dfrac{6}{3n-5}\cdot \textstyle{n}}$

Como en el exponente tenemos un producto podemos escribirlo como una potencia de potencias (recordar que $(a^b)^c= a^{b c}$ , propiedad de potencias ):

$=\lim\limits_{n\to \infty} \left[\left(1+\dfrac{1}{\dfrac{3n-5}{6}}\right)^{\dfrac{3n-5}{6}}\right]^{\dfrac{6n}{3n-5}} = $

La expresión que está entre corchetes tiene la forma del límite $(*)$ y el exponente tiende a infinito. Por lo tanto dicha expresión tiende a $e$. Por otro lado:

$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{6n}{3n-5} =\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{6\cancel{n}}{\cancel{n}\left(3-\dfrac{5}{n}\right) } =2 $

Entonces nuestro límite es:

$=\lim\limits_{n\to \infty} \left[\underbrace{ \left(1+\dfrac{1}{\dfrac{3n-5}{6}}\right)^{\dfrac{3n-5}{6}}}_{\to e}\right]^{\overbrace{\dfrac{6n}{3n-5}}^{\to 2}} = e^2$



Respuesta:

$$\boxed{\lim\limits_{n\to \infty} \left(\dfrac{3n+1}{3n-5}\right)^{n} = e^2 }$$