Práctica 3 ejercicio 10d

EJERCICIO 10: Calcule el límite de las siguientes sucesiones

(d) $\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)^{\textstyle {n}}$

Solución:
Como vemos que tenemos una indeterminación del tipo "$1^{\infty}$" debemos llevar la sucesión a la "forma del número $e$".
$\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)^{\textstyle {n}} = \lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)^{\textstyle{n^2}\cdot \dfrac{1}{n}} =$

$= \lim\limits_{n\to \infty} \left[\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)^{\textstyle{n^2}}\right]^{\textstyle {\dfrac{1}{n}}} =$

$= \lim\limits_{n\to \infty} \left[\underbrace{\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)^{\textstyle{n^2}} }_{\to e}\right]^{\overbrace{\textstyle {\dfrac{1}{n}}}^{\to 0}} = e^0 =1$

Respuesta:

$$\boxed{\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)^{\textstyle {n}} = 1 }$$