Práctica 3 ejercicio 6g

EJERCICIO 6: ...

(g) $\sqrt{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})$

Solución: Entre paréntesis hay indeterminación del tipo "$\infty-\infty$". En este caso no distribuimos la raíz que se encuentra fuera del paréntesis para no complicar las cuentas, primero debemos salvar la indetermincaión multiplicando y dividiendo por el conjugado:

$\lim\limits_{n\to +\infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}) = $

$\lim\limits_{n\to +\infty} \sqrt{n}(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})\cdot \dfrac{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n})} = $

$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\sqrt{n}\cdot(\cancel{n}+2-\cancel{n})}{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n})} = $

$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}} = $


Ahora nos encontramos con una indeterminación del tipo "$\frac{\infty}{\infty}$". Sacamos factor común:

$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(1+\dfrac{2}{n}\right)}+\sqrt{n}} = $

$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}+\sqrt{n}} = \lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{2\cancel{\sqrt{n}}}{\cancel{\sqrt{n}}\left(\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}+1\right)} = $

$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{2}{\underbrace{\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}}_{\to 1}+1} = 1$