Práctica 3 ejercicio 6h

EJERCICIO 6: ...

(h) $n(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})$

Solución: Este ejercicio es muy similar al anterior:

$\lim\limits_{n\to +\infty} n(\sqrt{n+2}-\sqrt{n}) = $

$\lim\limits_{n\to +\infty} n(\sqrt{n+2}-\sqrt{n})\cdot \dfrac{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n})} = $

$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n\cdot(\cancel{n}+2-\cancel{n})}{(\sqrt{n+2}+\sqrt{n})} = $

$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{2\cdot n}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}} = $

Ahora observamos una indeterminación del tipo "$\frac{\infty}{\infty}$". Sacando factor común:

$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{2\cdot n}{\sqrt{n\left(1+\dfrac{2}{n}\right)}+\sqrt{n}} = $

$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{2\cdot n}{\sqrt{n}\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}+\sqrt{n}} =$

sacando factor común $\sqrt{n}$ en el denominador queda:

$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{2\cdot n}{\sqrt{n}\left(\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}+1\right)} = $

Ahora podemos simplificar la $n$ del numerador con $\sqrt{n}$ del denominador con lo cual queda:

$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{2\sqrt{n}}{\underbrace{\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}}_{\to 1}+1} = +\infty$