EJERCICIO 5: Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
(g) $g_n = \dfrac{-n}{\sqrt{n^2-n}+n}$
Solución:
$\lim\limits_{n\to \infty}g_n=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{-n}{\sqrt{n^2-n}+n} = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(-1)\cdot n}{\sqrt{n^2\left(1-\dfrac{1}{n}\right)} + n} = $
$ \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(-1)\cdot n}{\sqrt{n^2}\sqrt{1-\dfrac{1}{n}} + n} = $
$ \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(-1)\cdot n}{n\cdot \sqrt{1-\dfrac{1}{n}} + n} = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(-1)\cdot \cancel{n}}{\cancel{n}\cdot\underbrace{\left( \sqrt{1-\dfrac{1}{n}} + 1\right)}_{\to 2}} = -\dfrac{1}{2}$
Práctica 3 ejercicio 5f - versión 2017
EJERCICIO 5: Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
(f) $f_n = \sqrt{\dfrac{4n^2-1}{9n^2+2}}$
Solución:
$\lim\limits_{n\to \infty}f_n=\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt{\dfrac{4n^2-1}{9n^2+2}} = \lim\limits_{n\to \infty}\sqrt{\dfrac{\cancel{n^2}\left(4-\dfrac{1}{n^2}\right)}{\cancel{n^2}\left(9+\dfrac{2}{n^2}\right)}} = $
$ \lim\limits_{n\to \infty}\sqrt{\dfrac{4-\dfrac{1}{n^2}}{9+\dfrac{2}{n^2}}} =\sqrt{\dfrac{4}{9}} =\dfrac{2}{3}$
(f) $f_n = \sqrt{\dfrac{4n^2-1}{9n^2+2}}$
Solución:
$\lim\limits_{n\to \infty}f_n=\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt{\dfrac{4n^2-1}{9n^2+2}} = \lim\limits_{n\to \infty}\sqrt{\dfrac{\cancel{n^2}\left(4-\dfrac{1}{n^2}\right)}{\cancel{n^2}\left(9+\dfrac{2}{n^2}\right)}} = $
$ \lim\limits_{n\to \infty}\sqrt{\dfrac{4-\dfrac{1}{n^2}}{9+\dfrac{2}{n^2}}} =\sqrt{\dfrac{4}{9}} =\dfrac{2}{3}$
Práctica 3 ejercicio 5e - versión 2017
EJERCICIO 5: Calcule, si existe, el límite de las siguientes sucesiones.
(e) $e_n = \dfrac{\sqrt{n^3}+2}{n^2-1}$
Solución:
$\lim\limits_{n\to \infty}e_n=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\sqrt{n^3}+2}{n^2-1} = \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\sqrt{n^3} \left(1+\dfrac{2}{\sqrt{n^3}}\right)}{n^2\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)} = $
$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\sqrt{n}^3 \left(1+\dfrac{2}{\sqrt{n^3}}\right)}{\sqrt{n}^4\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)} = \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\left(1+\dfrac{2}{\sqrt{n^3}}\right)}{\sqrt{n}\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)} =$
$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\overbrace{\left(1+\dfrac{2}{\sqrt{n^3}}\right)}^{\to 1}}{\underbrace{\sqrt{n}}_{\to +\infty}\underbrace{\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)}_{\to 1}} = 0$
(e) $e_n = \dfrac{\sqrt{n^3}+2}{n^2-1}$
Solución:
$\lim\limits_{n\to \infty}e_n=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\sqrt{n^3}+2}{n^2-1} = \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\sqrt{n^3} \left(1+\dfrac{2}{\sqrt{n^3}}\right)}{n^2\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)} = $
$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\sqrt{n}^3 \left(1+\dfrac{2}{\sqrt{n^3}}\right)}{\sqrt{n}^4\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)} = \lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\left(1+\dfrac{2}{\sqrt{n^3}}\right)}{\sqrt{n}\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)} =$
$\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{\overbrace{\left(1+\dfrac{2}{\sqrt{n^3}}\right)}^{\to 1}}{\underbrace{\sqrt{n}}_{\to +\infty}\underbrace{\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)}_{\to 1}} = 0$
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