Práctica 9 ejercicio 13b

EJERCICIO 13: Encuentre en cada caso, la función $G(x)$ que satisface

(b) $G''(x)=6x+1\hspace{10px},\hspace{10px}G'(1)=3\hspace{10px},\hspace{10px}G(0)=1$

Solución: En este ítem nos dan la derivada segunda de la función y como la derivada segunda de una función $G$ es la derivada de la derivada de $G$ entonces al integrar $G\,''$ tenemos $G\,'$ (salvo por la constante de integración).

En el ítem anterior calculamos esta integral:

$G\,'(x)=\int G\,''(x) \, dx=\int 6x+1 \,dx = 3x^2+x+ C$

Evaluando en $x=1$:

$G\,'(1)= 3\cdot 1^2+1+ C = 3+1+C$
$G\,'(1)= 4+C $

Dado que tenemos como dato $G\,'(1)=3$, entonces podemos calcular la constante $C$:
$G\,'(1)= 4+C =3$

$C=-1$

Entonces: $G\,'(x)= 3x^2+x-1$

Para encontrar la función $G$ debemos integrar $G\,'(x)$:

\begin{eqnarray*}
G(x) & = & \int G\,'(x) \, dx \\
G(x) & = & \int 3x^2+x-1\,dx = \\
G(x) & = & \int 3x^2\,dx+\int x\,dx-\int 1\,dx = \\
G(x) & = & 3\int x^2\,dx+\int x\,dx-\int 1\,dx = \\
G(x) & = & 3\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}-x + K \\
\end{eqnarray*}

Ahora podemos usar el dato $G(0)=1$ para calcular la constante $K$, evaluando $G$ en $x=0$:

$G(0) = 3\dfrac{0^3}{3}+\dfrac{0^2}{2}-0 + K = K= 1$

Entonces existe una única función $G$ que cumple con todo lo pedido y es:

$G(x) = x^3+\dfrac{x^2}{2}-x + 1$

Respuesta:
$$\boxed{G(x)= x^3+\dfrac{x^2}{2}-x + 1 }$$