Práctica 9 ejercicio 13a

EJERCICIO 13: Encuentre en cada caso, la función $G(x)$ que satisface

(a) $G'(x)=6x+1\hspace{10px},\hspace{10px}G(1)=3$

Solución: Este ejercicio es similar al anterior pero en lugar de encontrar una primitiva cualquiera nos piden hallar una primitiva que en un punto toma un valor determinado.

Como hicimos en el ejercicio anterior, podemos buscar todas las primitivas de $G'(x)=6x+1$:

$G(x)=\int G'(x) \, dx=\int 6x+1 \,dx = $

$=\int 6x \,dx+\int 1 \,dx=$

$ =6\int x \,dx+\int 1 \,dx=$

$=6\dfrac{x^2}{2}+x +C=$

$G(x)= 3x^2+x+ C$

Estas son las infinitas primitivas de $G'$, pero debemos encontrar una primitiva $G$ tal que $G(1)=3$:

$G(1)= 3\cdot 1^2+1+ C = 3$

Despejando $C$ tenemos:

$3\cdot 1^2+1+ C = 3$

$3+1+ C = 3$

$4+ C = 3$

$C = 3-4$

$C = -1$

Por lo tanto la única primitiva que cumple con lo pedido es: $G(x)= 3x^2+x-1$

Respuesta:
$$\boxed{G(x)= 3x^2+x-1}$$