Práctica 9 ejercicio 13c

EJERCICIO 13: Encuentre en cada caso, la función $G(x)$ que satisface

(c) $G\,'''(x)=x+\sen (x)\hspace{10px},\hspace{10px}G''(0)=G'(0)=G(0)=5$

Solución: Ahora tenemos la derivada tercera de $G$, entonces tendremos que integrar 3 veces para encontrar la función $G$. Cada vez que integremos aparecerá una constante sumando, debemos utilizar los datos que nos dan para calcular estas constantes de integración.


$G\,''(x)=\int G\,'''(x) \, dx=\int x+\sen (x) \,dx =$

$= \int x \,dx+\int\sen (x) \,dx = \dfrac{x^2}{2}-\cos (x) +C_1$

Como $G\,''(0)=5$ tenemos:

$G\,''(0)=\dfrac{0^2}{2}-\cos (0) +C = -1+ C_1 = 5$

entonces $C_1=6$ y

$$G''(x)=\dfrac{x^2}{2}-\cos (x) +6$$

Si ahora integramos $G\,''(x)$:

$G\,'(x)=\int G\,''(x) \, dx=\int \dfrac{x^2}{2}-\cos (x) +6 \,dx =$

$=\dfrac{1}{2}\int x^2\,dx- \int \cos (x)\,dx + \int 6 \,dx = $

$= \dfrac{x^3}{6}- \sen(x) + 6x + C_2$

Ahora usamos que $G\,'(0)=5$ para calcular la nueva constante:

$G \,' (0) =\dfrac{0^3}{6}- \sen(0) + 6\cdot 0 + C_2 = 5$

Entonces $C_2=5$ y

$$G \,' (0) =\dfrac{x^3}{6}- \sen(x) + 6x + 5 $$

Integrando una vez mas:

$G(x)=\int G\,'(x) \, dx=\int \dfrac{x^3}{6}- \sen(x) + 6x + 5 \,dx =$

$= \dfrac{1}{6}\int x^3\,dx - \int\sen(x) \,dx+ 6\int x \,dx+ \int 5 \,dx =$

$= \dfrac{x^4}{24} + \cos(x) + 3x^2+ 5x +C_3 $

Como $G(0)=5$:

$G(0)= \dfrac{0^4}{24} + \cos(0) + 3\cdot 0^2+ 5\cdot 0 +C_3=5 $

$1 +C_3=5 $

Entonces $C_3=4 $ y la función $G$ es:

$$G(x)= \dfrac{x^4}{24} + \cos(x) + 3x^2+ 5x +4 $$

Respuesta:
$$\boxed{G(x)= \dfrac{x^4}{24} + \cos(x) + 3x^2+ 5x +4 }$$