Práctica 9 ejercicio 8d

EJERCICIO 8: Calcule las siguientes integrales, usando la Regla de Barrow y las
propiedades de linealidad de la integral.

(d) $\int\limits_{0}^{64} (2\sqrt{x}+ \sqrt[3]{ x})\, dx$

Solución: Podemos escirbir las raíces como potencias fraccionarias y usar que si $\alpha \neq -1$ entonces una primitiva de $x^{\alpha}$ es $\dfrac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}$.

$\int\limits_{0}^{64} (2\sqrt{x}+ \sqrt[3]{ x})\, dx = \int\limits_{0}^{64} (2x^{1/2}+ x^{1/3})\, dx = $

$= 2\int\limits_{0}^{64} x^{1/2}\, dx+ \int\limits_{0}^{64}x^{1/3}\, dx = $

$= 2\left( \dfrac{x^{1/2+1}}{1/2+1} \right)\Bigg|_{0}^{64} + \left( \dfrac{x^{1/3+1}}{1/3+1} \right)\Bigg|_{0}^{64} =
2\left( \dfrac{x^{3/2}}{3/2} \right)\Bigg|_{0}^{64} + \left( \dfrac{x^{4/3}}{4/3} \right)\Bigg|_{0}^{64}=$

$=2\left( \dfrac{64^{3/2}}{3/2}- \dfrac{0^{3/2}}{3/2}\right) + \left( \dfrac{64^{4/3}}{4/3} -\dfrac{0^{4/3}}{4/3}\right) = $

$=2\left( \dfrac{2}{3}\cdot 512\right) + \left( \dfrac{3}{4} \cdot 256\right) = \dfrac{2048}{3}+192 =\dfrac{2624}{3} $

Respuesta:
$$\boxed{\int\limits_{0}^{64} (2\sqrt{x}+ \sqrt[3]{ x})\, dx = \dfrac{2624}{3}}$$