Práctica 3 ejercicio 11e

EJERCICIO 11: ...

(e) $\dfrac{n^3+n!}{2^n+3^n}$

Solución: Aquí el problema con el que nos encontramos si queremos aplicar el criterio de D'Alembert o Cauchy es que al tener sumas no podemos simplificar fracciones (en el caso de D'Alembert) o distribuir la raíz (en el caso de Cauchy).

Podemos distribuir el denominador:

$$\dfrac{n^3+n!}{2^n+3^n}= \dfrac{n^3}{2^n+3^n}+\dfrac{n!}{2^n+3^n}$$

Ahora podemos calcular los límites de cada una de estas dos sucesiones.
Empecemos calculando el límite de $\dfrac{n^3}{2^n+3^n}$.
Todavía tenemos una suma en el denominador pero no se puede distribuir el numerador. Lo que sí podemos hacer es sacar factor común:

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^3}{2^n+3^n} = \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^3}{3^n\left(\dfrac{2^n}{3^n}+1\right)}=
\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^3}{3^n}\dfrac{1}{\left[\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+1\right]} = $
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La expresión entre corchetes tiende a 1 (recordar que $\lim\limits_{n\to\infty} r^n = 0$ si $|r| < 1$) y podemos aplicar el criterio de D'Alembert para calcular $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^3}{3^n}$:

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\dfrac{(n+1)^3}{3^{n+1}}}{\dfrac{n^3}{3^n}} = \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)^3}{3^{n+1}}\cdot \dfrac{3^n}{n^3} = \lim\limits_{n\to\infty}\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^3\dfrac{\cancel{3^n}}{\cancel{3^n}\cdot 3}=$

 $=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^3\dfrac{1}{ 3}= \dfrac{1}{3} < 1$

Entonces el criterio de D'Alembert dice que $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^3}{3^n} = 0$

Por lo tanto

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^3}{2^n+3^n} =
\lim\limits_{n\to\infty}\underbrace{\dfrac{n^3}{3^n}}_{\to 0}\underbrace{\dfrac{1}{\left[\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+1\right]}}_{\to 1} = 0$ (*)


De manera similar podemos calcular $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n!}{2^n+3^n}$.

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n!}{2^n+3^n} = \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n!}{3^n\left(\dfrac{2^n}{3^n}+1\right)}= \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n!}{3^n}\dfrac{1}{\left[\left(\dfrac{2}{3}\right)^n+1\right]} = $

Ahora aplicamos el criterio de D'Alembert para calcular $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n!}{3^n}$:

$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\dfrac{(n+1)!}{3^{n+1}}}{\dfrac{n!}{3^n}} =
\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)!}{3^{n+1}}\cdot \dfrac{3^n}{n!} =
\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+1)\cdot \cancel{n!}}{\cancel{n!}}\cdot \dfrac{\cancel{3^n}}{\cancel{3^n}\cdot 3}=$

$=\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n+1}{ 3}= +\infty > 1$

Por lo tanto $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n!}{2^n+3^n}=+\infty $ (**)

Usando (*) y (**):

$$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^3+n!}{2^n+3^n}=
\lim\limits_{n\to\infty}\underbrace{\dfrac{n^3}{2^n+3^n}}_{\to 0}+\underbrace{\dfrac{n!}{2^n+3^n}}_{\to +\infty} = +\infty$$

Respuesta:
$$\boxed{\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^3+n!}{2^n+3^n} = +\infty}$$