Práctica 9 ejercicio 8a

EJERCICIO 8: Calcule las siguientes integrales, usando la Regla de Barrow y las
propiedades de linealidad de la integral.

(a) $\int\limits_{0}^{3} 3(x-2) dx$

Solución:
Decimos que la función $F$ es una primitiva de $f$ si $F'(x) =f(x)$.

La regla de Barrow nos dice como calcular la integral definida de $f$ conociendo una primitiva.

Regla de Barrow: si $F$ es una primitiva de $f$ entonces:
$$\int\limits_{a}^{b} f(x) dx =F(b)-F(a)$$

Notación: $\int\limits_{a}^{b} f(x) dx =F(b)-F(a)=F(x)\Bigg|_{a}^{b}$

Las propiedades de linealidad de la integral son:

1) $\int\limits_{a}^{b} kf(x) dx = k\int\limits_{a}^{b} f(x) dx $

2) $\int\limits_{a}^{b} \left(f(x)+g(x)\right) dx = \int\limits_{a}^{b} f(x) dx + \int\limits_{a}^{b} g(x) dx$

Con estas propiedades y una tabla de integrales podemos calcular lo que nos piden:

$\int\limits_{0}^{3} 3(x-2) dx = 3\left(\int\limits_{0}^{3} (x-2) dx\right) = 3\left(\int\limits_{0}^{3} x dx -\int\limits_{0}^{3}2 dx\right)= $

$= 3\left(\dfrac{x^2}{2}\Bigg|_{0}^{3} - 2x\Bigg|_{0}^{3}\right)=
3\left(\left(\dfrac{3^2}{2} - \dfrac{0^2}{2}\right) -\left( 2\cdot3-2\cdot 0\right)\right)=$

$= 3\left(\dfrac{9}{2}- 6\right)= 3\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right) =-\dfrac{9}{2}$

Respuesta:
$$\boxed{\int\limits_{0}^{3} 3(x-2) dx=-\dfrac{9}{2} }$$


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