Práctica 9 ejercicio 5f

EJERCICIO 5: Calcule las derivadas de las siguientes funciones

(f) $F(x) =\int\limits_{x}^{\sqrt{x}} \cos(t^2) dt $


Solución: La diferencia con las funciones de los items anteriores está en que aquí ambos límites de integración son funciones que dependen de $x$. Por lo tanto debemos usar la generalización del TFC de la siguiente forma:

Si $A(x)=\int\limits_{h(x)}^{g(x)} f(t) dt$, entonces $A$ es derivable y vale
$$A'(x) = f(g(x))\cdot g'(x) - f(h(x))\cdot h'(x)\quad (*)$$

En nuestro caso tenemos que:
$f(t)= \cos(t^2)$
$g(x)=\sqrt{x}\implies g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

$h(x)=x\implies h'(x)=1$.

Si reemplazamos en $(*)$:

$$F'(x) = f(g(x))\cdot g'(x) - f(h(x))\cdot h'(x) $$
$$F'(x)= \cos((\sqrt{x})^2)\cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}}-
\cos(x^2)\cdot 1$$

Respuesta:
$$\boxed{F'(x) = \dfrac{\cos(x)}{2\sqrt{x}}-\cos(x^2)}$$