Práctica 9 ejercicio 5a

EJERCICIO 5: Calcule las derivadas de las siguientes funciones

(a) $A(x) =\int\limits_{1}^{x} e^{-t^2} \,dt $


Solución:
Recordemos el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC):
Si $f$ es una función integrable en $[a,b]$ y es continua en $x_0\in [a,b]$ entonces la función

$$A(x) =
\int\limits_{a}^{x} f(t) dt$$

es derivable en $x_0$ y además $A'(x_0) = f(x_0)$

Debemos distinguir bien entre la variable $x$ de la función $A$, que es uno de los límites de integración, y la variable $t$ que es la variable respecto a la cual estamos integrando.

Podemos generalizar el TFC:
Si $f$ es continua, $g$ y $h$ son funciones derivables entonces:
si $A(x)=\int\limits_{h(x)}^{g(x)} f(t) \,dt$, entonces $A$ es derivable y vale
$$A'(x) = f(g(x))\cdot g'(x) - f(h(x))\cdot h'(x)$$

De esta forma el TFC es un caso particular de esta última igualdad: basta poner $g(x)=x$ y $h(x)=a$

Para nuestro ejemplo podemos usar directamente la versión original del TFC:
$$A'(x) = e^{-x^2}$$

Respuesta:
$$\boxed{A'(x) = e^{-x^2} }$$