Práctica 9 ejercicio 3b

EJERCICIO 3: Se sabe que las funciones $f$ y $g$ son integrables y que

(b) $\int\limits_{1}^{2} 2f(x) \,dx = 5, \quad \int\limits_{1}^{2} g(x) \,dx = 7 $

calcule $\int\limits_{1}^{2} ( f(x)+2g(x)) \,dx $

Solución:
Vamos a utilizar las siguientes propiedades de la integral (linealidad):

1) $\int\limits_{a}^{b} kf(x) \,dx = k\int\limits_{a}^{b} f(x) \,dx $

2) $\int\limits_{a}^{b} \left(f(x)+g(x)\right) \,dx = \int\limits_{a}^{b} f(x) \,dx + \int\limits_{a}^{b} g(x) \,dx$

Queremos calcular la siguiente integral:
$\int\limits_{1}^{2} ( f(x)+2g(x)) \,dx = \int\limits_{1}^{2} f(x) \,dx +\int\limits_{1}^{2} 2g(x) \,dx =
\int\limits_{1}^{2} f(x) \,dx +2\int\limits_{1}^{2} g(x) \,dx $

En la primera igualdad usamos la propiedad 2 y en la segunda igualdad usamos la propiedad 1. Por otra parte, según el enunciado: $\int\limits_{1}^{2} 2f(x) \,dx = 5$, entonces usando la propiedad 1 podemos calcular $\int\limits_{1}^{2} f(x) \,dx$, pués:
$\begin{eqnarray*}
\int\limits_{1}^{2} 2f(x) \,dx & = & 5\\
2\int\limits_{1}^{2} f(x) \,dx & = & 5\\
\int\limits_{1}^{2} f(x) \,dx & = & \dfrac{5}{2}
\end{eqnarray*}$

Ya tenemos todos los valores que necesitamos:

$\int\limits_{1}^{2} ( f(x)+2g(x)) \,dx = \int\limits_{1}^{2} f(x) \,dx +2\int\limits_{1}^{2} g(x)\, dx =
\dfrac{5}{2} + 2\cdot 7 = \dfrac{5}{2} + 14 = \dfrac{33}{2}$



Respuesta:
$$\boxed{\int\limits_{1}^{2} ( f(x)+2g(x)) \,dx = \dfrac{33}{2}}$$