Práctica 9 ejercicio 3a

EJERCICIO 3: Se sabe que las funciones $f$ y $g$ son integrables y que

(a) $\int\limits_{-3}^{4} (3f(x)-4g(x)) \,dx = 23, \quad \int\limits_{-3}^{4} g(x) dx = 7 \quad \text{ y } \int\limits_{-3}^{1} f(x) \,dx = 12$

calcule $\int\limits_{1}^{4} f(x) \,dx $

Solución:
Antes de empezar a resolver el ejercicio observar bien los límites de integración de todas las integrales.
Para resolverlo vamos a utilizar las siguientes propiedades de la integral:

1) $\int\limits_{a}^{b} kf(x) \,dx = k\int\limits_{a}^{b} f(x) \,dx $

2) $\int\limits_{a}^{b} \left(f(x)+g(x)\right) \,dx = \int\limits_{a}^{b} f(x)\,dx + \int\limits_{a}^{b} g(x) \,dx$

3) $\int\limits_{a}^{b} f(x) \,dx = \int\limits_{a}^{c} f(x) \,dx + \int\limits_{c}^{b} f(x) \,dx$

De las dos primeras propiedades podemos deducir que también vale:
$\int\limits_{a}^{b} \left(f(x)-g(x)\right) \,dx = \int\limits_{a}^{b} f(x) \,dx - \int\limits_{a}^{b} g(x) \,dx$

Cuando hablemos de la linealidad de la integral, nos estaremos refiriendo a que las integrales cumplen las dos primeras propiedades (los escalares que están multiplicando dentro de la integral salen multipicando fuera de la integral (propiedad 1) y la integral "distribuye" con respecto a la suma (o resta) de funciones (propiedad 2)).

Uno de los datos es que

$$\int\limits_{-3}^{4} (3f(x)-4g(x)) \,dx = 23$$

Podemos usar la linealidad de la integral para escribir el lado izquierdo de esta igualdad en términos de las integrales de $f$ y $g$.

$\begin{eqnarray*}
\int\limits_{-3}^{4} (3f(x)-4g(x)) \,dx & = & 23\\
\int\limits_{-3}^{4} 3f(x) \,dx- \int\limits_{-3}^{4} 4g(x) \,dx & = & 23\\
3\int\limits_{-3}^{4} f(x) \,dx- 4\int\limits_{-3}^{4} g(x) \,dx & = & 23\\
\end{eqnarray*}$

El valor de $\int\limits_{-3}^{4} g(x) \,dx $ también es un dato así que lo podemos reemplazar por su valor:

$\begin{eqnarray*}
3\int\limits_{-3}^{4} f(x) \,dx - 4\cdot 7 & = & 23\\
3\int\limits_{-3}^{4} f(x) \,dx - 28 & = & 23\\
3\int\limits_{-3}^{4} f(x)\,dx & = & 23+28\\
3\int\limits_{-3}^{4} f(x)\,dx & = & 51\\
\int\limits_{-3}^{4} f(x)\,dx & = & \dfrac{51}{3}\\
\int\limits_{-3}^{4} f(x) \,dx & = & 17
\end{eqnarray*}$


Queríamos calcular la integral de $f$ pero los límites de integración son distintos. Por suerte podemos usar la propiedad 3 y el dato restante del enunciado ($\int\limits_{-3}^{1} f(x) dx = 12$ ):

$\begin{eqnarray*}
\int\limits_{-3}^{4} f(x)\,dx & = & 17\\
\int\limits_{-3}^{1} f(x) \,dx + \int\limits_{1}^{4} f(x)\,dx & = & 17\\
12 + \int\limits_{1}^{4} f(x)\,dx & = & 17\\
\int\limits_{1}^{4} f(x)\,dx & = & 17-12\\
\int\limits_{1}^{4} f(x)\,dx & = & 5\\
\end{eqnarray*}$

Respuesta:
$$\boxed{\int\limits_{1}^{4} f(x)\,dx = 5}$$