Primer parcial 1er cuatrimestre 2015 Tema 1A solución punto 4

4-Hallar los valores máximo y mínimo absolutos de $f(x)=x\sqrt[5]{6-x}$ para $x\in[0,7]$.

Solución:
Como $f$ es una función continua en $x\in[0,7]$ entonces sabemos por el teorema de Weierstrass que $f$ alcanza el máximo y el mínimo dentro de ese intervalo. Con este resultado lo único que tendremos que hacer es buscar todos los puntos críticos y evaluar la función en cada uno de esos puntos. El valor mayor será el máximo absoluto y el menor será el mínimo absoluto.

Nota: dado que la raíz quinta es una raíz de índice impar entonces no tenemos ninguna restricción de dominio, es decir, se puede evaluar tanto en valores positivos como negativos o cero.

Para hallar la derivada de $f$ nos conviene escribir la raíz como una potencia fraccionaria:

$$f(x)=x(6-x)^{1/5}$$

Para derivar debemos usar la regla del producto y al derivar $(6-x)^{1/5}$ usamos la regla de la cadena:

$\begin{eqnarray*}
f'(x) & = & (6-x)^{1/5} + x\cdot\dfrac{1}{5}(6-x)^{(1/5)-1}\cdot (-1)\\
& = & (6-x)^{1/5} - \dfrac{x}{5}(6-x)^{-4/5}\\
& = & \sqrt[5]{6-x} - \dfrac{x}{5\sqrt[5]{(6-x)^{4}} }\\
\end{eqnarray*}$

Observar que en la derivada tenemos $x$ en el denominador de una fracción. Entonces en el dominio de $f'$ no estarán los valores de $x$ que anulen al denominador (no se puede dividir por 0). Por lo tanto debemos excluir del dominio de la derivada a $x=6$ (en $x=6$ la función es continua pero no es derivable).

Por lo dicho arriba podemos decir que ya tenemos un punto crítico: $x=6$. Además $x=0$ y $x=7$ son puntos críticos por ser extremos del intervalo cerrado donde estamos estudiando la función.

Otra clase de punto crítico son los valores qeu anulan a la derivada:
$\begin{eqnarray*}
f'(x) = \sqrt[5]{6-x} - \dfrac{x}{5\sqrt[5]{(6-x)^{4}} } & = & 0\\
\sqrt[5]{6-x} & = & \dfrac{x}{5\sqrt[5]{(6-x)^{4}} }\\
5\cdot \sqrt[5]{(6-x)^{4}} \cdot \sqrt[5]{6-x} & = & x\\
5\cdot \sqrt[5]{(6-x)^{4}\cdot (6-x) } & = & x\\
5\cdot \sqrt[5]{(6-x)^{5} } & = & x\\
5\cdot (6-x) & = & x\\
30-5x & = & x\\
30 & = & 6x\\
\dfrac{30}{6} & = & x\\
x& = & 5\\
\end{eqnarray*}$


Todos los puntos críticos son: $0,5,6$ y $7$. Evaluamos la función en estos puntos:

$$f(0)=0\cdot(6-0)^{1/5} = 0$$
$$f(5)=5\cdot(6-5)^{1/5} = 5$$
$$f(6)=6\cdot(6-6)^{1/5} = 0$$
$$f(7)=7\cdot(6-7)^{1/5} = -7$$

Entonces el máximo se alcanza en $x=5$ y el valor máximo es $5$, el mínimo se alcanza en $x=7$ y el valor máximo es $-7$.