Práctica 9 ejercicio 12g

EJERCICIO 12: Halle en cada caso, una función $g(x)$ que satisfaga

(g) $g'(x)=x+x^3$

Solución: Podemos usar la propiedad de linealidad de las primitivas:

$$\int kf_1(x)+f_2(x) \, dx = k\int f_1(x) \, dx+\int f_2(x) \, dx$$

Sabemos que una primitiva de $x$ es $\dfrac{x^2}{2}$ (item a) y las primitivas de $x^3$ son:

$\int x^3 \, dx = \dfrac{x^{3+1}}{3+1}+C = \dfrac{x^{4}}{4}+C $

Por lo tanto una primitiva de $g'(x)=x+x^3$ es:

$\int x+x^3 \, dx =\int x \, dx+\int x^3 \, dx= \dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{4}+ C$.

Si ponemos $C=0$ tenemos una posible solución $g(x)=\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{4}}{4}$.