Práctica 9 ejercicio 10c

EJERCICIO 10: ...(hay un error en el enunciado de la guía, debe ser como figura aquí)

(c) $\int\limits_{0}^{x}\dfrac{t^2}{(1+t^2)^2}\,dt = \dfrac{-x}{2(x^2+1)}+\dfrac{1}{2}\text{arctg}(x) +K$

Solución: Nuevamente, al igual que los items anteriores derivamos ambos miembros y evaluamos en algún punto donde sea fácil calcular la integral (una vez mas para $x=0$ los límites de integración quedan iguales).

Por el Teorema Fundamental del Cálculo:

$\left(\int\limits_{0}^{x}\dfrac{t^2}{(1+t^2)^2}\,dt\right)' = \dfrac{x^2}{(1+x^2)^2}$

Para derivar la función de la derecha debemos usar la regla del cociente y recordar que $(\text{arctg}(x))'=\dfrac{1}{1+x^2}$:

$\left(\dfrac{-1}{2}\cdot\dfrac{x}{(x^2+1)}+\dfrac{1}{2}\text{arctg}(x)\right)' = \dfrac{-1}{2}\cdot\left(\dfrac{(x^2+1)-x\cdot 2x}{(1+x^2)^2}\right) +\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{1+x^2}=$

$\dfrac{-1}{2}\cdot\left(\dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\right) +\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{1+x^2}=$

$\dfrac{1}{2}\cdot\left[-\dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2} +\dfrac{1}{1+x^2}\right]=$

$\dfrac{1}{2}\cdot\left[\dfrac{-(1-x^2)+(1+x^2)}{(1+x^2)^2} \right]=\dfrac{1}{2}\cdot\left[\dfrac{\cancel{-1}+x^2+\cancel{1}+x^2}{(1+x^2)^2} \right]$

$\dfrac{1}{\cancel{2}}\cdot\left[\dfrac{\cancel{2}x^2}{(1+x^2)^2} \right]= \dfrac{x^2}{(1+x^2)^2}$

Como las derivadas de las dos funciones son iguales entonces vale la igualdad (ver item anterior). Ahora evaluamos en $x=0$:

$\int\limits_{0}^{0}\dfrac{t^2}{(1+t^2)^2}\,dt = \dfrac{-0}{2(0^2+1)}+\dfrac{1}{2}\text{arctg}(0) +K$

$0 = K$



$\boxed{K = 0}$