Práctica 9 ejercicio 10b

EJERCICIO 10: ...

(b) $\int\limits_{0}^{x}\dfrac{\cos (t)}{2\sen (t)+3}\,dt = \dfrac{1}{2}\text{ln}|3+2\sen (x)|+K$

Solución: Observar que podemos quitar la barras de módulo pués $3+2\sen (x)\geq 0$ (pués $\sen (x)\geq -1$).

Al igual que en item anterior derivamos ambos miembros y evaluamos en algún punto donde sea fácil calcular la integral (nuevamente si $x=0$ los límites de integración quedan iguales).

Por el Teorema Fundamental del Cálculo:

$\left(\int\limits_{0}^{x}\dfrac{\cos (t)}{2\sen (t)+3}\,dt\right)' = \dfrac{\cos (x)}{2\sen (x)+3}$

Para derivar la función de la derecha aplicamos la regla de la cadena:


$\left( \dfrac{1}{2}\text{ln}(3+2\sen (x))\right)' = \dfrac{1}{ \cancel{2}}\cdot \dfrac{1}{3+2\sen (x)}\cdot \cancel{2}\cos (x) =
\dfrac{\cos (x)}{2\sen (x)+3}$

Como las derivadas de las dos funciones son iguales entonces vale la igualdad (ver item anterior). Ahora evaluamos en $x=0$:

$\int\limits_{0}^{0}\dfrac{\cos (t)}{2\sen (t)+3}\,dt = \dfrac{1}{2}\text{ln}|3+2\sen (0)|+K$

$0 = \dfrac{1}{2}\text{ln}(3)+K$

$K = -\dfrac{1}{2}\text{ln}(3)$

$\boxed{K = -\dfrac{1}{2}\text{ln}(3)}$