Práctica 9 ejercicio 10a

EJERCICIO 10: Usando el Teorema Fundamental del Cálculo, compruebe las siguientes igualdades y calcule, en cada una de ellas, el valor de $K$.

(a) $\int\limits_{0}^{x}\dfrac{dt}{\sqrt{3t+5}} = \dfrac{2}{3}\sqrt{3x+5}+K$

Solución: Recordemos que si dos funciones tienen la misma derivada entonces una de las funciones es igual a la otra mas una constante. Es decir, si $f'(x)=g'(x)$ entonces $f(x)=g(x)+K$. (ejercicio 7 de la práctica 6)

Para probar que vale la igualdad vamos a derivar las funciones que de ambos miembros y si las derivadas son iguales entonces concluimos que vale la igualdad (por lo dicho mas arriba).

La derivada de la integral por el Teorema Fundamental del Cálculo (TFC) es:


$\left(\int\limits_{0}^{x}\dfrac{dt}{\sqrt{3t+5}}\right)' = \dfrac{1}{\sqrt{3x+5}} $

Para derivar $\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+5}$ utilizamos la regla de la cadena:

$\left(\dfrac{2}{3}\sqrt{3x+5}\right)' = \dfrac{\cancel{2}}{\bcancel{3}}\dfrac{1}{\cancel{2}\sqrt{3x+5}}\cdot \bcancel{3} =
\dfrac{1}{\sqrt{3x+5}}$

Como las dos derivadas son iguales entonces vale al igualdad. Ahora para calcular la constante podemos evaluar ambas funciones en el mismo punto y despejamos la contante. Un punto donde es fácil evaluar la integral es en $x=0$ porque nos queda una integral con los dos límites de integración iguales. Evaluando en $x=0$:

$\int\limits_{0}^{0}\dfrac{dt}{\sqrt{3t+5}} = \dfrac{2}{3}\sqrt{3\cdot 0+5}+K$

$ 0= \dfrac{2}{3}\sqrt{5}+K$

$ K= -\dfrac{2}{3}\sqrt{5}$

$ \boxed{K= -\dfrac{2}{3}\sqrt{5}}$