Práctica 3 ejercicio 11j

EJERCICIO 11: ...

(j) $\dfrac{n^44^n n!}{n^n}$

Solución: Aplicando el criterio de D'Alembert:

$ \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\dfrac{(n+1)^44^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} }{\dfrac{n^44^n n!}{n^n} } = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(n+1)^44^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \dfrac{n^n}{n^44^n n!} = $

$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(n+1)^4 \cancel{4^n}\cdot4 \cdot (n+1)\cdot\bcancel{n!}}{(n+1)^{n}\cdot (n+1)} \cdot \dfrac{n^n}{n^4 \cancel{4^n} \bcancel{n!}} = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(n+1)^4 \cdot4 \cdot \cancel{(n+1)}}{(n+1)^{n}\cdot \cancel{(n+1)}} \cdot \dfrac{n^n}{n^4}= $

$ \lim\limits_{n\to \infty} 4\cdot \left(\dfrac{n+1 }{n}\right)^4 \cdot \dfrac{n^n}{(n+1)^{n}} =
\lim\limits_{n\to \infty} 4\cdot \left(1+\dfrac{1 }{n}\right)^4 \cdot \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n = $

El límite de $\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n $ lo calculamos en el item anterior y nos dió $e^{-1}$. Por lo tanto:

$=\lim\limits_{n\to \infty} 4\cdot \underbrace{\left(1+\dfrac{1 }{n}\right)^4}_{\to 1} \cdot \underbrace{\left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n}_{\to e^{-1} } = 4e^{-1} > 1$

Como el límite del cociente de D'Alembert es mayor a 1 entonces:

$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{n^44^n n!}{n^n} = +\infty$

Respuesta:
$$\boxed{\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{n^44^n n!}{n^n} =+\infty}$$