Práctica 3 ejercicio 11i

EJERCICIO 11: ...

(i) $\dfrac{n!}{n^n}$

Solución: Nuevamente podemos aplicar el criterio de D'Alembert:

$ \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{\dfrac{n!}{n^n}}=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot \dfrac{n^n}{n!}= $

$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\bcancel{(n+1)}\cdot \cancel{n!}}{\bcancel{(n+1)}\cdot (n+1)^{n}}\cdot \dfrac{n^n}{\cancel{n!}}=
\lim\limits_{n\to \infty} \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n= $

Dado que nos encontramos con una indeterminación del tipo "$1^{\infty}$" debemos llevarlo a la "forma del número $e$".

$\lim\limits_{n\to \infty} \left(\dfrac{n}{n+1}\right)^n= \lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{n}{n+1}-1\right)^n= $

$\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{n-(n+1)}{n+1}\right)^n= \lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{-1}{n+1}\right)^n= $

$ \lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{1}{-(n+1)}\right)^n= \lim\limits_{n\to \infty} \left[\left(1+\dfrac{1}{-(n+1)}\right)^{-(n+1)}\right]^{\dfrac{n}{-(n+1)}}=$

La expresión entre corchetes tiende a $e$ y el exponente a -1:

$=\lim\limits_{n\to \infty} \left[\underbrace{\left(1+\dfrac{1}{-(n+1)}\right)^{-(n+1)}}_{\to e}\right]^{\overbrace{\dfrac{n}{-(n+1)}}^{\to -1}}= e^{-1} < 1$

Como el límite del cociente de D'Alembert es menor a 1 entonces:

$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{n!}{n^n} = 0$

Respuesta:
$$\boxed{\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{n!}{n^n} =0}$$