Práctica 3 ejercicio 11h

EJERCICIO 11: ...

(h) $\dfrac{n^2}{ n!}$

Solución: Si $a_n =\dfrac{n^2}{ n!}$ podemos utilizar el criterio de D'Alembert:

$ \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\dfrac{(n+1)^2}{ (n+1)!}}{\dfrac{n^2}{ n!}}= \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(n+1)^2}{ (n+1)!}\cdot \dfrac{ n!}{n^2}=$

$= \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(n+1)^2}{ n^2}\cdot \dfrac{ n!}{(n+1)!}=\lim\limits_{n\to \infty} \left(\dfrac{n+1}{ n}\right)^2\cdot \dfrac{\cancel{n!}}{(n+1)\cdot \cancel{n!}}=$

$=\lim\limits_{n\to \infty} \underbrace{\left(1+\dfrac{1}{ n}\right)^2}_{\to 1}\cdot \underbrace{\dfrac{ 1}{(n+1)}}_{\to 0}= 0 < 1$

Como el límite del cociente de D'Alembert es menor a 1 entonces:

$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{n^2}{ n!}=0 $

Respuesta:
$$\boxed{\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2}{ n!} =0}$$