Práctica 3 ejercicio 11g

EJERCICIO 11: ...

(g) $\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{n} \right)^n$

Solución: Dado que tenemos una potencia donde el exponente es $n$ podemos intentar calcular el límite utilizando el criterio de la raíz $n$-ésima de Cauchy. Si $a_n= \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{n} \right)^n$ tenemos que calcular el siguiente límite:

$\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{n} \right)^n} = \lim\limits_{n\to \infty} \left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{n} \right) = \dfrac{1}{2} < 1$

Como este límite es menor a 1 entonces

$$\lim\limits_{n\to \infty}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{n} \right)^n = 0$$


Respuesta:
$$\boxed{\lim\limits_{n\to \infty}\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{n} \right)^n =0}$$