Práctica 3 ejercicio 11f

EJERCICIO 11: ...

(f) $\dfrac{2^{2n+1}}{(2n)!}$

Solución: Si $a_n= \dfrac{2^{2n+1}}{(2n)!}$, podemos aplicar el criterio de D'Alembert:

$ \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\dfrac{2^{2(n+1)+1}}{(2(n+1))!}}{\dfrac{2^{2n+1}}{(2n)!}}=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{2^{2(n+1)+1}}{(2(n+1))!}\cdot \dfrac{(2n)!}{2^{2n+1}}=$

Como el anterior a $2n+2$ es $2n+1$ y así siguiendo, tenemos:

$(2n+2)!= (2n+2)\cdot (2n+1)\cdot (2n)\cdot (2n-1)\dots 3\cdot 2\cdot 1 = $

$=(2n+2)\cdot (2n+1)\cdot (2n)!$

Además $2^{2(n+1)+1} = 2^{2n+2+1} = 2^{2n+1}\cdot 2^2$.
Entonces el límite del cociente de D'Alembert es:

$=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{2^{2n+3}}{(2n+2)!}\cdot \dfrac{(2n)!}{2^{2n+1}}=
\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\cancel{2^{2n+1}}\cdot 2^2}{\cancel{2^{2n+1}}}\cdot \dfrac{\cancel{(2n)!}}{(2n+2)\cdot (2n+1)\cdot \cancel{(2n)!}} =$

$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{ 2^2}{(2n+2)\cdot (2n+1) } = 0 < 1$

Entonces por el criterio de D'Alembert:

$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{2^{2n+1}}{(2n)!} =0 $

Respuesta:
$$\boxed{\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2^{2n+1}}{(2n)!} =0}$$