Primer parcial 1er cuatrimestre 2015 Tema 1A solución punto 2

2-Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, definida por $f(x)=\left\{\begin{array}{cr}
\dfrac{\cos(2x)-1}{4x^2} & \text{si } x\neq 0 \\
-1/2 & \text{si }x=0
\end{array}\right.$

Estudiar la continuidad y derivabilidad de $f$ en $x=0$.

Solución:
Si recordamos que toda función $f$ derivable en $x_0$ también es continua en $x_0$, entonces podemos empezar estudiando la derivabilidad y si nos dá que $f$ es derivable ya sabremos que también es continua. Pero si resulta que $f$ no es derivable entonces tendremos que analizar también la continuidad pues el enunciado así lo pide.

Como la función está partida en $x=0$ entonces para estudiar la derivabilidad tendremos que calcular los límites del cociente incremental con $h\to 0^+$ y $h\to 0^-$.
La función $f$ es derivable en $x_0$ si existen, son iguales y finitos los límites laterales:

$$\lim\limits_{h\to 0^+}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \quad\quad \hbox{y}\quad\quad \lim\limits_{h\to 0^-}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$


En nuestro caso, como queremos estudiar la derivabilidad en 0, tenemos que $x_0=0$. Tendremos que calcular:
$$\lim\limits_{h\to 0^+}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h} \quad\quad \hbox{y}\quad\quad \lim\limits_{h\to 0^-}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}$$

O lo que es lo mismo:
$$\lim\limits_{h\to 0^+}\dfrac{f(h)-f(0)}{h} \quad\quad \hbox{y}\quad\quad \lim\limits_{h\to 0^-}\dfrac{f(h)-f(0)}{h}$$

Para calcular el límite por derecha tenemos que evaluar $f$ en $h > 0$ y para calcular el límite por izquierda en $h < 0$. En ambos casos la "fórmula" de $f$ es la misma. Por lo tanto calcularemos simplemente el
$$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(h)-f(0)}{h} $$
y tendremos cuidado de que no dependa del signo de $h$.

$$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{f(h)-f(0)}{h} = \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\dfrac{\cos(2h)-1}{4h^2}-(-\dfrac{1}{2})}{h}
= \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\dfrac{\cos(2h)-1}{4h^2}+\dfrac{1}{2}}{h}=$$

Podemos sumar las fracciones del numerador (sacando común denominador $4h^2$):

$$= \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\dfrac{\cos(2h)-1+2h^2}{4h^2}}{h}=$$

Dado que dividir por $h$ es lo mismo que multiplicar por $\dfrac{1}{h}$, podemos reescribirlo:

$$= \lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\cos(2h)-1+2h^2}{4h^2}\cdot\dfrac{1}{h}=\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\cos(2h)-1+2h^2}{4h^3}=$$

Como $\cos(0)=1$ tenemos una indeterminación del tipo "$\dfrac{0}{0}$", por lo tanto podemos usar la regla de L'Hopital para salvarla:

$$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\cos(2h)-1+2h^2}{4h^3} \underset{\underset{L'H}{\uparrow}}{=}
\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\overbrace{-2\sen(2h)+4h}^{\to 0}}{\underbrace{12h^2}_{\to 0}} = $$

Nuevamente tenemos una indeterminación del tipo "$\dfrac{0}{0}$":

$$\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{-2\sen(2h)+4h}{12h^2} \underset{\underset{L'H}{\uparrow}}{=}
\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{\overbrace{-4\cos(2h)+4}^{\to 0}}{\underbrace{24h}_{\to 0}} = $$

L`Hopital una vez mas:

$$\lim\limits_{h\to 0} \dfrac{-4\cos(2h)+4}{24h} \underset{\underset{L'H}{\uparrow}}{=}
\lim\limits_{h\to 0}\dfrac{8\sen(2h)}{24} = 0$$

Como este límite es el mismo por derecha y por izquierda y es finito entonces la función es derivable en $x=0$. Como $f$ es derivable en $x=0$ también es continua en $x=0$ (si también estudiaste la continuidad no está mal, solamente hiciste algunas cuentas de mas que te las podrías haber ahorrado usando este resultado teórico).