Primer parcial 1er cuatrimestre 2015 Tema 1A solución punto 1

1-Hallar $a\in \mathbb{R}$ tal que
$$ \lim\limits_{n\to\infty} \left( \dfrac{n^2+a}{n^2-3} \right)^{2n^2+1}=e^2 $$

Solución:
Podemos observar que si $a=-3$ entonces todos los términos de la sucesión son igual a 1 y por lo tanto el límite también sería 1. Con lo cual $a=-3$ no es solución.
Calculemos ahora el límite de la sucesión (para $a\neq -3$). Si bien dentro del paréntesis tenemos una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$ podemos salvarla fácilmente y ver que tiende a 1 (independientemente del valor de $a$):

Sacando factor común:
$\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n^2+a}{n^2-3} =
\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{n^2\left(1+\dfrac{a}{n^2}\right)}{n^2\left(1-\dfrac{3}{n^2}\right)} =
$

$\lim\limits_{n \to \infty}\dfrac{\cancel{n^2}\left(1+\dfrac{a}{n^2}\right)}{\cancel{n^2}\left(1-\dfrac{3}{n^2}\right)}=\lim\limits_{n \to \infty} \dfrac{\overbrace{1+\dfrac{a}{n^2}}^{\to 1}}{\underbrace{1-\dfrac{3}{n^2}}_{\to 1}} = 1$

Como el exponente tiende a $\infty$ estamos ante una indeterminación del tipo $1^{\infty}$.
Para salvar este tipo de indeterminación debemos llevarla a la "forma del número $e$", es decir, debemos llegar un expresión del tipo:

$$\lim\limits_{n\to \infty} \left( 1+\dfrac{1}{b_n} \right)^{b_n}$$

Si $b_n\to \infty$ entonces:

$$\lim\limits_{n\to \infty} \left( 1+\dfrac{1}{b_n} \right)^{b_n}= e \hspace{20px}(*)$$

Cuidado: no sólo debe tener la forma sino que el exponente $b_n$ debe tender a infinito.

Para que nuestra sucesión se parezca a $(*)$ nos falta un 1 sumando, así que lo agregamos sumando y restando para no cambiar la expresión:

$\lim\limits_{n\to\infty} \left( \dfrac{n^2+a}{n^2-3} \right)^{2n^2+1} = \lim\limits_{n\to\infty} \left(1+ \dfrac{n^2+a}{n^2-3} -1\right)^{2n^2+1}=$

El 1 que está sumando lo dejamos tal cual está y a la expresión que teníamos le restamos el otro 1:

$= \lim\limits_{n\to\infty} \left(1+ \dfrac{n^2+a}{n^2-3} -1\right)^{2n^2+1}=
\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+ \dfrac{(n^2+a)-(n^2-3)}{n^2-3} \right)^{2n^2+1}
=$

$=\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{\cancel{n^2}+a-\cancel{n^2}+3}{n^2-3}\right)^{2n^2+1} =
\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{a+3}{n^2-3}\right)^{2n^2+1} =$


Ahora se parece un poco mas pero la fracción que está sumada al 1 tiene como numerador otro 1, en nuestro caso tenemos $a+3$. Lo que podemos hacer es dividir numerador y denominador por el mismo número, en este caso por $a+3$ (solo si $a\neq -3$):

$ =\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{a+3}{n^2-3}\right)^{2n^2+1} =
\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{1}{\dfrac{n^2-3}{a+3}}\right)^{2n^2+1} =$

Ahora lo único que nos faltaría es que en el exponente aparezca exactamente lo mismo que está en el denominador de la fracción (es lo que llamamos $b_n$ en $(*)$), en nuestro caso $b_n$ sería $\dfrac{n^2-3}{a+3}$. Para que aparezca en el exponente sin modificar la expresión vamos a multiplicar y dividir el exponente por $\dfrac{n^2-3}{a+3}$ (recordar que dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por el inverso):

$= \lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{1}{\dfrac{n^2-3}{a+3}}\right)^{2n^2+1} =
\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{1}{\dfrac{n^2-3}{a+3}}\right)^{\dfrac{n^2-3}{a+3}\cdot\dfrac{a+3}{n^2-3}\cdot \textstyle{{2n^2+1}}} =$

Como en el exponente tenemos un producto podemos escribirlo como una potencia de potencias (recordar que $(a^b)^c= a^{b c}$ , propiedad de potencias ):

$\lim\limits_{n\to \infty} \left[\left(1+\dfrac{1}{\dfrac{n^2-3}{a+3}}\right)^{\dfrac{n^2-3}{a+3}}\right]^{\dfrac{(a+3)(2n^2+1)}{n^2-3}} =$

La expresión que está entre corchetes tiene la forma del límite $(*)$ y el exponente tiende a infinito. Por lo tanto dicha expresión tiende a $e$. Por otro lado en el exponente tenemos (tener en cuenta que $a$ es una constante):

$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(a+3)(2n^2+1)}{n^2-3} =\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\cancel{n^2}(a+3)(2+\dfrac{1}{n^2})}{\cancel{n^2}\left(1-\dfrac{3}{n^2}\right) } =
\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(a+3)(\overbrace{2+\dfrac{1}{n^2}}^{\to 2})}{\underbrace{1-\dfrac{3}{n^2}}_{\to 1} }
=2(a+3) $

Entonces nuestro límite es:

$=\lim\limits_{n\to \infty} \left[\underbrace{ \left(1+\dfrac{1}{\dfrac{n^2-3}{a+3}}\right)^{\dfrac{n^2-3}{a+3}}}_{\to e}\right]^{\overbrace{\dfrac{(a+3)(2n^2+1)}{n^2-3}}^{ \textstyle{\to 2(a+3)} }} = e^{2a+6}$

Como queremos que este límite sea igual a $e^2$ entonces:
$$\begin{eqnarray*} e^{2a+6}& = & e^2\\
2a+6 &= &2\\
2a& =& 2-6\\
a &=& -\dfrac{4}{2} \\
a&=&-2
\end{eqnarray*}$$


Respuesta:
$$\boxed{a =-2 }$$