Primer parcial 1er cuatrimestre 2015 Tema 1A solución punto 3

3-Demostrar que $4x^2-\text{ln}(4x+1) > -1$ para todo $x > -\dfrac{1}{4}$.

Solución:
Si pasamos de término tenemos que:
$\begin{eqnarray*}
4x^2-\text{ln}(4x+1) & > &-1\\
4x^2-\text{ln}(4x+1) +1 & > & 0
\end{eqnarray*}$

Si llamamos $f$ a la función que nos quedó del lado izquierdo de la desigualdad entonces tenemos que demostrar que $f(x)=4x^2-\text{ln}(4x+1) +1$ es positiva para todo $x > -\dfrac{1}{4}$. Para esto hacemos un estudio de función.
Observar que el dominio natural de $f$ es justamente $( -\dfrac{1}{4} , +\infty)$

La derivada de $f$ es (usamos regla de la cadena para derivar $\text{ln}(4x+1)$):

$$ f'(x)= 8x-\dfrac{4}{4x+1} $$

Observar que el único problema que podríamos tener para evaluar la derivada sería si $x=-\dfrac{1}{4}$ pero este valor no está en el dominio de la función por lo tanto el dominio de $f'$ es el mismo que el de $f$.

Busquemos los puntos críticos. En general tenemos 3 clases de puntos críticos:
1- Los valores de $x$ que están en el dominio de $f$ pero no en el dominio de $f'$ (aquí no tenemos esta clase de puntos críticos)
2- Los valores de $x$ donde se anula la derivada (raíces de la derivada).
3- Los extremos del intervalo cerrado donde estudiamos la función (si estuviéramos estudiando la función en un intervalo cerrado,pero este no es el caso)

Veamos entonces cuales son las raíces de la derivada:

$$ f'(x)= 8x-\dfrac{4}{4x+1} = 0$$

Despejando $x$:

$\begin{eqnarray*}
8x & = & \dfrac{4}{4x+1}\\
8x (4x+1)& = & 4\\
32x^2 +8x & = & 4\\
32x^2 +8x -4& = & 0
\end {eqnarray*}
$

Las soluciones de esta ecuación cuadrática son:

$$x_{1-2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \dfrac{-8\pm \sqrt{8^2-4\cdot 32 \cdot (-4)}}{2\cdot 32} = \dfrac{-8\pm \sqrt{576}}{64}= \dfrac{-8\pm 24}{64}$$

Las dos soluciones son: $x_1 =\dfrac{1}{4}$ y $\cancel{x_2 =-\dfrac{1}{2}}$. Descartamos la segunda porque no está en el dominio de la función. Por lo tanto el único punto crítico es $x =\dfrac{1}{4}$.

Como la derivada es una función continua en $( -\dfrac{1}{4} , +\infty)$ y la única raíz que tiene es $x =\dfrac{1}{4}$, por el corolario de Bolzano $f'$ no cambiará de signo en el intervalo $( -\dfrac{1}{4} , \dfrac{1}{4})$ ni en el intervalo $( \dfrac{1}{4} , +\infty)$.

Para saber que signo tiene la derivada en cada uno de estos intervalos evaluamos en algún punto del intervalo:

- para saber el signo de $f'$ en $( -\dfrac{1}{4} , \dfrac{1}{4})$ evaluamos por ejemplo en $x=0$:

$$ f'(0)= 8\cdot 0-\dfrac{4}{4\cdot 0+1} = -4 < 0$$ Entonces como $f'$ es negativa en $( -\dfrac{1}{4} , \dfrac{1}{4})$, $f$ es decreciente en el mismo intervalo. - para saber el signo de $f'$ en $( \dfrac{1}{4} , +\infty)$ evaluamos por ejemplo en $x=1$: $$ f'(1)= 8\cdot 1-\dfrac{4}{4\cdot 1+1} = 8-\dfrac{4}{5}=\dfrac{36}{5} > 0$$

Entonces como $f'$ es positiva en $( \dfrac{1}{4} , +\infty)$, $f$ es creciente en el mismo intervalo.

Con toda esta información podemos decir que $f$ tiene un mínimo absoluto en $x_1 =\dfrac{1}{4}$. Veamos cual es el valor mínimo que toma al función:
$\begin{eqnarray*}
f(x)& = & 4(\dfrac{1}{4})^2-\text{ln}(4\cdot \dfrac{1}{4}+1) +1 \\
& = & \dfrac{1}{4}-\text{ln}(2) +1 \\
& = & \dfrac{5}{4}-\text{ln}(2)\\
f(x) & \approx & 0.557
\end{eqnarray*}$

Como el mínimo de la función es un valor positivo entonces debe ser $f(x) > 0 $ para todo $x > -\dfrac{1}{4}$ que es lo que queríamos demostrar.