Práctica 3 ejercicio 11d

EJERCICIO 11: ...

(d) $\sqrt[n]{n!}$

Solución:
Dado que $\sqrt[n]{n!}= (n!)^{1/n}$ en principio tenemos una indeterminación del tipo $"\infty^0"$

Para calcular este límite usaremos el siguiente resultado (D'alembert implica Cauchy):

Si existe $\lim\limits_{n\to \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ entonces también existe $\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{a_n}$ y además:
$$\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{a_n}= \lim\limits_{n\to \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right|$$

Para usar este resultado llamamos $a_n= n!$, entonces:
$\lim\limits_{n\to \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(n+1)!}{n!} = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(n+1)\cancel{n!}}{\cancel{n!}} = \lim\limits_{n\to \infty} n+1 = +\infty$

Por la propiedad anterior tenemos (recordar que habíamos llamado $a_n= n!$):

$$\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{a_n}= \lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{n!} = +\infty$$

Este era el límite que queríamos calcular:

$$\boxed{\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{n!} = +\infty}$$

Nota: algunos profesores permiten utilizar este límite sin tener que justificarlo (la justificación es lo que hicimos en este ejercicio). Preguntale a tu profesor si tenés que justificar que $\lim\limits_{n\to \infty} \sqrt[n]{n!} = +\infty$ o podés utilizarlo sin justificar.