Práctica 3 ejercicio 2ix

EJERCICIO 2: ...

(ix) $1,1,\dfrac{1}{2},2,\dfrac{1}{3},3,\dfrac{1}{4},...$

Solución:
Podemos ver que para los términos de índice par tenemos la sucesión $1,2,3,4,\dots$, entonces tendremos algo parecido a:
$$\dfrac{n}{2}$$

El problema es que esto vale solo para los términos con subíndice par. Si multiplicamos por una sucesión que valga 1 para $n$ par y 0 para los impares podemos empezar a solucionar este problema. Por ejemplo, la sucesión:

$$b_n=\dfrac{1+(-1)^{n}}{2}\cdot\dfrac{n}{2}$$

coincide con los términos de nuestra sucesión para $n$ par y en los impares vale 0.

Ahora podemos armar una sucesión que coincida con la nuestra para $n$ impar. Por ejemplo:

$$c_n=\dfrac{1+(-1)^{n+1}}{n+1}$$

Si sumamos estas dos sucesiones tendremos que para $n$ par coincidirá con $a_n$ ya que $c_n$ vale 0. Y para $n$ impar también concidirá con $a_n$ porque $b_n$ vale 0.

Por lo tanto el término general de nuestra sucesión es:
$$\boxed{a_n = \dfrac{1+(-1)^{n}}{2}\cdot\dfrac{n}{2} + \dfrac{1+(-1)^{n+1}}{n+1}}$$


$a_{100} = \dfrac{1+(-1)^{100}}{2}\cdot\dfrac{100}{2} + \dfrac{1+(-1)^{100+1}}{100+1}= 50$

$a_{200} \dfrac{1+(-1)^{200}}{2}\cdot\dfrac{200}{2} + \dfrac{1+(-1)^{200+1}}{200+1}= 100$

Esta sucesión no es convergente.