Práctica 3 ejercicio 11a

EJERCICIO 11: ...

(a) $\dfrac{n}{2^{n+1}}$

Solución:
Usemos el criterio de D'alembert para resolver este límite. Si llamamos $a_n = \dfrac{n}{2^{n+1}}$, entonces el criterio de D'alembert nos pide calcular el siguiente límite (si la sucesión es de términos positivos no es necesario poner el módulo):

$$ \lim\limits_{n\to \infty} \left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim\limits_{n\to \infty}
\dfrac{\dfrac{n+1}{2^{(n+1)+1}}}{\dfrac{n}{2^{n+1}}} =
\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{n+1}{2^{n+2}}\cdot\dfrac{2^{n+1}}{n} = $$

$$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{n+1}{n}\cdot\dfrac{2^{n+1}}{2\cdot2^{n+1}} =
\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\cancel{n}\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{\cancel{n}}\cdot\dfrac{1}{2} =
\lim\limits_{n\to \infty} \underbrace{\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}_{\to 1}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}<1$$

Como este límite nos dió menor que 1 entonces la sucesión original tiende a 0:

$$ \boxed{\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{n}{2^{n+1}} = 0}$$