EJERCICIO 10: Calcule el límite de las siguientes sucesiones
(j) $\left(1+\dfrac{\sen n}{5n^3+1}\right)^{2n+3}$
Solución:
La expresión entre paréntesis tiende a 1 pues:
$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\sen n}{5n^3+1} =\lim\limits_{n\to \infty} \underbrace{\dfrac{1}{5n^3+1}}_{\to 0}\cdot \underbrace{\sen n}_{\text{acotada}}= 0$
Por lo tanto tenemos una indeterminación del tipo "$1^{\infty}$". Lo llevaremos a la forma:
$\lim\limits_{n\to \infty} \left( 1+ c_n\right)^{\dfrac{1}{c_n}}(*)$
donde $\lim\limits_{n\to \infty} c_n=0$.
$\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{\sen n}{5n^3+1}\right)^{2n+3} =
\lim\limits_{n\to \infty} \left[\left(1+\dfrac{\sen n}{5n^3+1}\right)^{\textstyle{\dfrac{5n^3+1}{\sen n}}}\right]^{\textstyle{\dfrac{(2n+3)\cdot\sen n}{5n^3+1}}}=$
La expresión entre corchetes tiende a $e$ ya que tiene la forma $(*)$ con $c_n = \dfrac{\sen n}{5n^3+1}$ y ya vimos que esta sucesión tiende a 0.
Veamos cual es el límite del exponente:
$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(2n+3)\cdot\sen n}{5n^3+1} = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\cancel{n}\left(2+\dfrac{3}{n}\right)}{\cancel{n}\left(5n^2+\dfrac{1}{n}\right)} \cdot\underbrace{\sen n}_{\text{acotada}} = 0 $
Por lo tanto nos queda lo siguiente:
$=
\lim\limits_{n\to \infty} \left[\left(1+\dfrac{\sen n}{5n^3+1}\right)^{\textstyle{\dfrac{5n^3+1}{\sen n}}}\right]^{\textstyle{\dfrac{(2n+3)\cdot\sen n}{5n^3+1}}}= e^0 = 1$
Respuesta:
$$\boxed{ \lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{\sen n}{5n^3+1}\right)^{2n+3} = 1}$$
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