Práctica 3 ejercicio 11c

EJERCICIO 11: ...

(c) $\dfrac{n2^n}{n!}$

Solución:
En general, pero no siempre, cuando tenemos factorial conviene utilizar el criterio de D'alembert.

$$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\dfrac{(n+1)2^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{n2^n}{n!}}= \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(n+1)2^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\dfrac{n!}{n2^n} = $$

Reordenando un poco los términos:

$$= \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(n+1)n!}{(n+1)!}\cdot\dfrac{2\cdot \cancel{2^n}}{n\cancel{2^n}} = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\cancel{(n+1)n!}}{\cancel{(n+1)n!}}\cdot\dfrac{2}{n} = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{2}{n} = 0<1$$

Por lo tanto por el criterio de D'alembert:

$$\boxed{\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{n2^n}{n!} =0} $$