Práctica 3 ejercicio 10i

EJERCICIO 10: Calcule el límite de las siguientes sucesiones

(i) $\left( \cos \left(\dfrac{1}{n}\right) \right)^{\dfrac{2}{\sen ^2 (\frac{1}{n}) }}$

Solución:

Como $ \lim\limits_{n\to \infty} \cos \left(\dfrac{1}{n}\right)=1 $ y $\lim\limits_{n\to \infty} \sen \left(\dfrac{1}{n}\right)=0$, tenemos nuevamente una indeterminación del tipo "$1^{\infty}$". La llevaremos a alguna de las dos formas de los límites que dan el número $e$.

$ \lim\limits_{n\to \infty} \left( \cos \left(\dfrac{1}{n}\right) \right)^{\dfrac{2}{\sen ^2 (\frac{1}{n}) }} = \lim\limits_{n\to \infty} \left(1+ \cos \left(\dfrac{1}{n}\right) -1\right)^{\dfrac{2}{\sen ^2 (\frac{1}{n}) }} =$

Ahora tenemos que $ \lim\limits_{n\to \infty} \cos \left(\dfrac{1}{n}\right) -1 =0$ y por lo tanto en el exponente deberíamos tener el inverso de esta expresión. Entonces multiplicamos y dividimos el exponente por $\cos \left(\dfrac{1}{n}\right)-1$


$=\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+ \cos \left(\dfrac{1}{n}\right) -1\right)^{\dfrac{1}{\cos \left(\frac{1}{n}\right) -1}\cdot \textstyle{(\cos \left(\frac{1}{n}\right) -1)\cdot {\dfrac{2}{\sen ^2 (\frac{1}{n})} }}} = $

$=\lim\limits_{n\to \infty} \left[\left(1+ \cos \left(\dfrac{1}{n}\right) -1\right)^{\dfrac{1}{\cos \left(\dfrac{1}{n}\right) -1}}\right]^{ \dfrac{2\cdot(\cos \left(\frac{1}{n}\right) -1)}{\sen ^2 (\frac{1}{n}) } } = $

La expresión entre corchetes tiende a $e$ ya que tiene la forma

$$\lim\limits_{n\to \infty} \left( 1+ c_n\right)^{\dfrac{1}{c_n}} $$

donde $c_n =\cos \left(\dfrac{1}{n}\right) -1$ tiende a 0.

En el exponente tenemos una indeterminación del tipo "$\frac{0}{0}$", en este cálculo auxiliar salvamos esta indeterminación y vemos que el exponente tiende a -1. Por lo tanto:

$=\lim\limits_{n\to \infty} \left( \cos \left(\dfrac{1}{n}\right) \right)^{\dfrac{2}{\sen ^2 (\frac{1}{n}) }} = e^{-1}$



$\boxed{\lim\limits_{n\to \infty} \left( \cos \left(\dfrac{1}{n}\right) \right)^{\dfrac{2}{\sen ^2 (\frac{1}{n}) }}= e^{-1}}$