Cálculo auxiliar

Cálculo auxiliar

Queremos calcular $ \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{2\cdot(\cos \left(\frac{1}{n}\right) -1)}{\sen ^2 (\frac{1}{n}) } $

Estamos frente a una indeterminación del tipo "$\frac{0}{0}$", para salvarla debemos recordar la identidad pitagórica:

$$\sen ^2 (x) + \cos^2 (x)=1$$

Despejando tenemos que:

$$ \cos^2 (x)-1=-\sen ^2 (x) $$

Como del lado izquierdo de la igualdad tenemos una diferencia de cuadrados podemos factorizarla:

$$ (\cos (x)-1)\cdot (\cos (x)+1)=-\sen ^2 (x) $$

Entonces para calcular el límite podemos multiplicar y dividir por $\cos (\frac{1}{n})+1$:

$ \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{2\cdot(\cos \left(\frac{1}{n}\right) -1)}{\sen ^2 (\frac{1}{n}) } =
\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{2\cdot(\cos \left(\frac{1}{n}\right) -1)\cdot (\cos (\frac{1}{n})+1)}{\sen ^2 (\frac{1}{n}) (\cos (\frac{1}{n})+1)} = $

$=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{2\cdot(-\sen^2(\frac{1}{n}))}{\sen ^2 (\frac{1}{n}) (\cos (\frac{1}{n})+1)} = $

$=\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{-2\cdot\cancel{\sen^2(\frac{1}{n})} }{\cancel{\sen^2(\frac{1}{n})} (\cos (\frac{1}{n})+1)} =
\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{-2 }{ \underbrace{(\cos (\frac{1}{n})+1)}_{\to 2}} = -1$

$$ \boxed{\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{2\cdot(\cos \left(\frac{1}{n}\right) -1)}{\sen ^2 (\frac{1}{n}) } = -1}$$