Práctica 3 ejercicio 10h

EJERCICIO 10: Calcule el límite de las siguientes sucesiones

(h) $\left(1+\dfrac{\sen (n)}{n^2}\right)^{n}$

Solución:

Recordemos que si $c_n\to 0$ entonces:

$$\lim\limits_{n\to \infty} \left( 1+ c_n\right)^{\dfrac{1}{c_n}} = e \hspace{20px}(*)$$

Cuidado: no sólo debe tener esta forma sino que $c_n$ debe tender a 0.

En nuestro caso tenemos que:

$ \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\sen (n)}{n^2}= \lim\limits_{n\to \infty} \underbrace{\sen (n)}_{\text{acotada}}\cdot \underbrace{\dfrac{1}{n^2}}_{\to 0} = 0$

Entonces solo nos faltaría que en el exponente aparezca $\dfrac{1}{\dfrac{\sen (n)}{n^2}}$ ( o lo que es lo mismo $\dfrac{n^2}{\sen (n)}$) para tener un límite de la forma $(*)$.

Como en el exponente ya tenemos $n$, lo multiplicamos y dividimos por $\dfrac{\sen (n)}{n}$:

$\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{\sen (n)}{n^2}\right)^{\textstyle{n}} = \lim\limits_{n\to \infty}\left(1+\dfrac{\sen (n)}{n^2}\right)^{\dfrac{n^2}{\sen (n)}\cdot \dfrac{\sen (n)}{n}}= $

$=\lim\limits_{n\to \infty} \left[\underbrace{ \left(1+\dfrac{\sen (n)}{n^2}\right)^{\dfrac{n^2}{\sen (n)}}}_{\to e}\right]^{ \textstyle{\overbrace{\dfrac{\sen (n)}{n}}^{\to 0}}} =e^0 =1 $

Nota: el exponente tiende a 0 porque:

$ \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\sen (n)}{n}= \lim\limits_{n\to \infty} \underbrace{\sen (n)}_{\text{acotada}}\cdot \underbrace{\dfrac{1}{n}}_{\to 0} = 0$


Respuesta:

$$\boxed{\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{\sen (n)}{n^2}\right)^{n} = 1 }$$