EJERCICIO 10: Calcule el límite de las siguientes sucesiones
(g) $\left(\dfrac{3n^2+2n+1}{3n^2-5}\right)^{\textstyle{\dfrac{n^2+2}{2n+1}}}$
Solución:
Nuevamente dentro del paréntesis tenemos una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$ que podemos salvarla fácilmente y ver que tiende a 1. En el exponente tenemos el mismo tipo de indeterminación pero luego de salvarla veremos que tiende a $\infty$, estamos entonces ante una indeterminación del tipo $1^{\infty}$.
$\lim\limits_{n\to \infty} \left(\dfrac{3n^2+2n+1}{3n^2-5}\right)^{\textstyle{\dfrac{n^2+2}{2n+1}}} =
\lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{3n^2+2n+1}{3n^2-5}-1\right)^{\textstyle{\dfrac{n^2+2}{2n+1}}}=$
$= \lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{3n^2+2n+1}{3n^2-5}-1\right)^{\textstyle{\dfrac{n^2+2}{2n+1}}}=$
$= \lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{(3n^2+2n+1)-(3n^2-5)}{3n^2-5}\right)^{\textstyle{\dfrac{n^2+2}{2n+1}}}=$
$= \lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{\cancel{3n^2}+2n+1-\cancel{3n^2}+5}{3n^2-5}\right)^{\textstyle{\dfrac{n^2+2}{2n+1}}}=$
$= \lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{2n+6}{3n^2-5}\right)^{\textstyle{\dfrac{n^2+2}{2n+1}}}=$
$= \lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{1}{\dfrac{3n^2-5}{2n+6}}\right)^{\textstyle{\dfrac{n^2+2}{2n+1}}}=$
$= \lim\limits_{n\to \infty} \left(1+\dfrac{1}{\dfrac{3n^2-5}{2n+6}}\right)^{\textstyle{\dfrac{3n^2-5}{2n+6}}\cdot\textstyle{\dfrac{2n+6}{3n^2-5}}\cdot\textstyle{\dfrac{n^2+2}{2n+1}}}=$
$= \lim\limits_{n\to \infty} \left[ \left(1+\dfrac{1}{\dfrac{3n^2-5}{2n+6}}\right)^{\textstyle{\dfrac{3n^2-5}{2n+6}}}\right]^{\textstyle{\dfrac{2n+6}{3n^2-5}}\cdot\textstyle{\dfrac{n^2+2}{2n+1}}}=$
Dado que $\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{3n^2-5}{2n+6}=+\infty$ tenemos que la expresión entre corchetes tiende al número $e$. Queda como ejercicio probar que $\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{2n+6}{3n^2-5}\cdot\dfrac{n^2+2}{2n+1} =\dfrac{1}{3}$. Con esto tenemos que:
$= \lim\limits_{n\to \infty} \left[ \left(1+\dfrac{1}{\dfrac{3n^2-5}{2n+6}}\right)^{\textstyle{\dfrac{3n^2-5}{2n+6}}}\right]^{\textstyle{\dfrac{2n+6}{3n^2-5}}\cdot\textstyle{\dfrac{n^2+2}{2n+1}}}= e^{\frac{1}{3}}$
Respuesta:
$$\boxed{\lim\limits_{n\to \infty} \left(\dfrac{3n^2+2n+1}{3n^2-5}\right)^{\textstyle{\dfrac{n^2+2}{2n+1}}} = e^{1/3} }$$
puede ser que esta mal? por que no da 1/3
ResponderEliminarel límite del exponente es 1/3. Fijate que son cocientes de polinomios, por lo tanto tenés una indeterminación del tipo $\dfrac{\infty}{\infty}$ que podés salvar sacando factor común.
EliminarProbá sacando factor común $n$ en $2n+6$ y en $2n+1$ y sacando factor común $n^2$ en $3n^2-5$ y en $n^2+2$. Después simplificás y listo.