Práctica 3 ejercicio 10f

EJERCICIO 10: Calcule el límite de las siguientes sucesiones

(a) $\left(\dfrac{2n^2-5n}{3n-1}\right)^{\textstyle{n^3+2n}}$

Solución:
Antes de empezar a hacer operaciones debemos verificar si estamos ante una indeterminación y dependiendo del tipo de indeterminación aplicaremos distintas técnicas para salvarla. En este caso tenemos una potencia cuyo exponente tiende a $+\infty$ y en la base tenemos una indeterminación del tipo "$\frac{\infty}{ \infty}$" que podemos salvar sacando factor común:

$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{2n^2-5n}{3n-1} =\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{n^2\left(2-\dfrac{5}{n}\right)}{n\left(3-\dfrac{1}{n}\right)} =$

$= \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\overbrace{n}^{\to +\infty}\left(\overbrace{2-\dfrac{5}{n}}^{\to 2}\right)}{\underbrace{3-\dfrac{1}{n}}_{\to 3}} = +\infty$

Como el exponente tambiénn tiende a $+\infty$ el límite que teníamos que calcular no es indeterminado y tenemos que :

$\lim\limits_{n\to \infty} \left(\underbrace{\dfrac{2n^2-5n}{3n-1}}_{\to +\infty}\right)^{\textstyle{\overbrace{n^3+2n}^{\to +\infty}}}= +\infty$


Respuesta:

$$\boxed{\lim\limits_{n\to \infty} \left(\dfrac{2n^2-5n}{3n-1}\right)^{\textstyle{n^3+2n}} = +\infty }$$