EJERCICIO 6: ...
(d) $\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-n+3}$
Solución: Lo primero que debemos hacer es ver si hay indeterminación yen caso afirmativo ver que tipo de indeterminación es.
Dentro de la segunda raíz nos encontramos con una indeterminación del tipo "$+\infty - \infty$" que podemos salvar fácilmente sacando factor común. El resultado es que ambas raíces tienden a $+\infty$. Por lo tanto nos encontramos con una indeterminación del tipo "$+\infty - \infty$" con raíces en ambos términos.
Como ya dijimos antes, podemos intentar salvar la indeterminación multiplicando y dividiendo por el conjugado:
$\lim\limits_{n\to +\infty} \sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-n+3} = $
$\lim\limits_{n\to +\infty} (\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n^2-n+3})\cdot \dfrac{(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-n+3})}{(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-n+3})} = $
$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{(n^2+1)-(n^2-n+3)}{(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-n+3})}=
\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\cancel{n^2}+1-\cancel{n^2}+n-3}{(\sqrt{n^2+1}+\sqrt{n^2-n+3})} = $
$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n-2}{\sqrt{n^2\left(1+\dfrac{1}{n^2}\right)}+\sqrt{n^2\left(1-\dfrac{1}{n}+\dfrac{3}{n^2}\right)}} = $
$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{n-2}{\sqrt{n^2}\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{n^2}\sqrt{1-\dfrac{1}{n}+\dfrac{3}{n^2}} } = $
$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\cancel{n}\left(1-\dfrac{2}{n}\right)}{
\cancel{n}\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\dfrac{1}{n}+\dfrac{3}{n^2}}\right) } = $
$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\overbrace{ 1-\dfrac{2}{n} }^{\to 1}}{
\underbrace{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}}_{\to 1}+\underbrace{\sqrt{1-\dfrac{1}{n}+\dfrac{3}{n^2}}}_{\to 1} } = \dfrac{1}{2} $
no entiendo como te quedó una sola n en el anteúltimo paso
ResponderEliminarEn el numerador sacás factor común $n$ y en el denominador tenés dos términos donde aparece $\sqrt{n^2}$ (es igual a $n$), por lo tanto también sacás factor común $n$ en el denominador (fijate que después de la $n$ hay un paréntesis).
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