Práctica 3 ejercicio 6d

EJERCICIO 6: ...

(d) $\sqrt{n^2+n-2}-n$

Solución: A diferencia del ejercicio anterior, aquí tenemos una indeterminación del tipo "$+\infty -\infty$". En general, cuando nos enfrentamos a este tipo de indeterminación y hay raíces cuadradas de por medio una técnica que podemos utilizar es multiplicar y dividir por el conjugado:

$\lim\limits_{n\to +\infty} \sqrt{n^2+n-2}- n= \lim\limits_{n\to +\infty} (\sqrt{n^2+n-2}- n) \dfrac{(\sqrt{n^2+n-2}+ n)}{(\sqrt{n^2+n-2}+ n)} = $

$\lim\limits_{n\to +\infty} \dfrac{\cancel{n^2}+n-2- \cancel{n^2}}{\sqrt{n^2+n-2}+ n} = $

Ahora tenemos una indeterminación del tipo "$\frac{\infty}{\infty}$", podemos salvarla sacando factor común:

$= \lim\limits_{n\to +\infty}
\dfrac{n\left(1-\dfrac{2}{n}\right) }{\sqrt{n^2\left(1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{2}{n^2}\right)}+ n} = \lim\limits_{n\to +\infty}
\dfrac{n\left(1-\dfrac{2}{n}\right) }{\sqrt{n^2}\sqrt{1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{2}{n^2}}+ n} = $

$ \lim\limits_{n\to +\infty}
\dfrac{\cancel{n}\left(1-\dfrac{2}{n}\right) }{\cancel{n}\left(\sqrt{1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{2}{n^2}}+ 1\right)}= \lim\limits_{n\to +\infty}
\dfrac{\overbrace{1-\dfrac{2}{n}}^{\to 1} }{\underbrace{\sqrt{1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{2}{n^2}}+ 1}_{\to 2}} = \dfrac{1}{2}$