Práctica 3 ejercicio 2vi

EJERCICIO 2: ...

(vi) $0,\dfrac{1}{2},0,\dfrac{1}{3},0,\dfrac{1}{4},...$

Solución:
Eencontrar el término general de esta sucesión requiere cierto ingenio. En primer lugar necesitamos que los términos de la sucesión alternen entre 0 y un valor distinto de 0. Para simplificar un poco podemos empezar buscando una sucesión que alterne entre 0 y 1.

Como sabemos que $(-1)^n$ alterna entre 1 y -1, si le sumamos 1 va a alternar entre 0 y 2. Finalmente dividimos por 2 tenemos:

$$b_n = \dfrac{1+ (-1)^n}{2}$$

Ahora necesitamos una sucesión (llamémosla $c_n$) que en los términos pares valga
$c_2 = \dfrac{1}{2}$, $c_4 = \dfrac{1}{3}$, $c_6 = \dfrac{1}{4}$, ...

Podría ser: $c_n = \dfrac{1}{\dfrac{n}{2}+1} = \dfrac{2}{n+2}$

Todo lo que debemos hacer ahora es multiplicar $b_n$ por $c_n$. Para los términos pares el producto coincide con $c_n$ (porque $b_n = 1$ para $n$ par) y en los impares vale 0 ya que $b_n=0$ para $n$ impar.


$$a_n = b_n\cdot c_n = \dfrac{1+ (-1)^n}{2}\cdot \dfrac{2}{n+2} = \dfrac{1+ (-1)^n}{n+2}$$

$$\boxed{ a_n = \dfrac{1+ (-1)^n}{n+2} }$$

$a_{100} = \dfrac{1+ (-1)^{100}}{100+2} = \dfrac{2}{102} = \dfrac{1}{51}$

$a_{200} = \dfrac{1+ (-1)^{200}}{200+2} = \dfrac{2}{202} = \dfrac{1}{101}$


En este caso la sucesión es convergente y $\lim\limits_{n\to \infty} a_n = 0$