Práctica 3 ejercicio 9t

EJERCICIO 9: ...

(t) $\dfrac{3^{2n+1}+\cos n}{2\cdot 9^{n}+\sen n} $

Solución:

$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{3^{2n+1}+\cos n}{2\cdot 9^{n}+\sen n} = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{3^{2n}\cdot 3+\cos n}{2\cdot 9^{n}+\sen n} = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{(3^{2})^n\cdot 3+\cos n}{2\cdot 9^{n}+\sen n} $

$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{9^n\cdot 3+\cos n}{2\cdot 9^{n}+\sen n} = \lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\cancel{9^n}\left( 3+\dfrac{\cos n}{9^n}\right)}{\cancel{9^n}\left(2+\dfrac{\sen n}{9^n}\right)}= $

$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{3+\overbrace{\dfrac{\cos n}{9^n}}^{\to 0}}{2+\underbrace{\dfrac{\sen n}{9^n}}_{\to 0}}= \dfrac{3}{2}$



Nota: debemos justificar que $\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\cos n}{9^n}=0$ y $\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\sen n}{9^n}=0$.
Para justificar el primero de los límites recurrimos a la propiedad "cero por acotada" (el otro es similar):


$\lim\limits_{n\to \infty} \dfrac{\cos n}{9^n}= \lim\limits_{n\to \infty} \underbrace{\dfrac{1}{9^n}}_{\to 0}\cdot \underbrace{\cos n}_{\text{acotada}} = 0$