Ejercicios resueltos | Práctica 0 ejercicio 10

EJERCICIO 10: Demuestre que si $a$ y $b$ son números no negativos vale la desigualdad:

$$\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{a\cdot b}$$

Solución: Como nos piden demostrar que vale para cualquier valor de $a$ y $b$ no negativos (es decir positivos o cero) no podemos reemplazarlos por algún valor ya que así solo estaríamos probando que vale para ese caso en particular.

Si $a$ y $b$ son no negativos entonces podemos calcular la raíz cuadrada de cada uno y restarlas:
$$\sqrt{a}-\sqrt{b}$$
Este número puede ser positivo, negativo o cero. Pero si lo elevamos al cuadrado el resultado seguro será mayor o igual que cero (ningún número elevado a una potencia par puede dar un resultado negativo):
$$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \geq 0$$
Si desarrollamos el cuadrado del binomio:
$$\sqrt{a}^2-2\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}+\sqrt{b}^2 \geq 0$$
Dado que tanto $a$ como $b$ son no negativos tenemos que $\sqrt{a}^2 = a$ y $\sqrt{b}^2 = b$.
Por propiedad de las raices también tenemos que $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$. Por lo tanto, la última desigualdad se transforma en:
$$a-2\sqrt{a\cdot b}+b \geq 0$$
$$a+b \geq 2\sqrt{a\cdot b}$$

Y si pasamos el $2$ que está multiplicando hacia el otro lado (no cambia la desigualdad porque el $2$ es positivo) llegamos a lo que queríamos demostrar:
$$\dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{a\cdot b}$$