EJERCICIO 8: Escriba como intervalo o unión de intervalos las soluciones de las siguientes desigualdades:
(e) $\dfrac{2x-1}{x-3} < 1$
Solución: Al igual que en el ejercicio anterior no podemos pasar "alegremente" $x-3$ multiplicando hacia el otro lado porque el signo depende del valor de $x$.
Vamos a comparar con cero.
$\dfrac{2x-1}{x-3} < 1$
$\dfrac{2x-1}{x-3} -1 < 0$
$\dfrac{2x-1- (x-3)}{x-3} < 0$
$\dfrac{2x-1- x+3}{x-3} < 0$
$\dfrac{x+2}{x-3} < 0$
Decir que una expresión es menor que cero es lo mismo que decir que la expresión es negativa. Por lo tanto, si utilizamos la "regla de los signos" tenemos que hay dos posibilidades que nos sirven:
1- numerador positivo y denominador negativo, o
2- numerador negativo y denominador positivo.
("mas dividido menos es menos" y "menos dividido mas también es menos").
Primer caso:
Numerador positivo: $x+2 > 0 \iff x > -2$
Denominador negativo: $x-3 < 0 \iff x < 3$
Para este primer caso tenemos que (graficar ambas condiciones sobre la recta):
$$x\in (-2,3)$$
Segundo caso:
Numerador negativo: $x+2 < 0 \iff x < -2$
Denominador positivo: $x-3 > 0 \iff x > 3$
No hay ningún número que sea menor que $-2$ y mayor que $3$ por lo tanto nunca se va a dar este segundo caso.
La solución al problema es entonces: $$\boxed{x\in (-2,3)}$$
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