Ejercicios resueltos | Práctica 0 ejercicio 8d

EJERCICIO 8: Escriba como intervalo o unión de intervalos las soluciones de las siguientes desigualdades:

(d) $\dfrac{2}{2-x} > 4$


Solución: En este caso tenemos que $2-x$ está dividiendo y podríamos estar tentados a pasarlo multiplicando hacia el otro lado de la desigualdad. Debemos recordar que al pasar multiplicando un factor positivo hacia el lado contrario, la desigualdad mantiene el sentido. Pero si el factor es negativo la desigualdad debe invertirse.

El problema en este caso es que no sabemos que signo tiene $2-x$ (ya que depende del valor de $x$, por ejemplo si $x=1$ la expresión será positiva pero si $x=3$ la expresión será negativa).

Hay varias formas de resolver este ejercicio. Aquí lo haremos "comparando con cero". Para esto debemos pasar todos los términos (sumando o restando) hacia alguno de los lados de la desigualdad y del otro lado quedará cero.

Por ejemplo:
$\dfrac{2}{2-x} > 4$

$\dfrac{2}{2-x} -4 > 0$

Ahora reducimos el lado izquierdo a una única fracción realizando la resta correspondiente.

$\dfrac{2-4(2-x)}{2-x} > 0$

$\dfrac{2-8+4x}{2-x} > 0$

$\dfrac{-6+4x}{2-x} > 0$

Ahora tenemos un cociente (o fracción) comparado con cero (en este caso tenemos cociente "mayor que cero" pero podría haber quedado "menor que cero" dependiendo de como se hizo el despeje). Decir que una expresión es mayor que cero es lo mismo que decir que la expresión es positiva. Por lo tanto, si utilizamos la "regla de los signos" tenemos que hay dos posibilidades que nos sirven:

1- numerador y denominador positivos, o
2- numerador y denominador negativos .

(Si hubiésemos tenido "menor que cero" las dos posibilidades hubiesen sido "numerador positivo y denominador negativo" o "numerador negativo y denominador positivo").

Primer caso (positivo dividido positivo):

Numerador positivo: $-6+4x > 0$
Denominador positivo: $2-x > 0$

Si $x$ verifica las dos desigualdades simultáneamente entonces será solución de la inecuación. Para encontrar los valores de $x$ que verifican cada inecuación simplemente despejamos:

$-6+4x > 0$

$4x > 6$

$x > \dfrac{6}{4}$ (la desigualdad mantiene el sentido porque 4 es positivo)

Simplificando la fracción queda:

$\boxed{x > \dfrac{3}{2}}$

La otra desigualdad se resuelve fácilmente:

$2-x > 0$

$2 > x$

$\boxed{x < 2}$

Los valores de $x$ que verifican ambas desigualdades son (graficar en la recta):

$$\boxed{\dfrac{3}{2} < x < 2}$$

Segundo caso (negativo dividido negativo):

Numerador negativo: $-6+4x < 0$
Denominador negativo: $2-x < 0$

Por un lado tenemos:

$-6+4x < 0$

$4x < 6$

$x < \dfrac{6}{4}$ (la desigualdad mantiene el sentido porque 4 es positivo)

$\boxed{x < \dfrac{3}{2}}$

Por el otro lado tenemos:

$2-x < 0$

$2 < x$

$\boxed{x > 2}$

No existe ningún valor de $x$ que verifique ambas desigualdades (graficar en la recta).

Por lo tanto la solución del problema es:

$$\boxed{\dfrac{3}{2} < x < 2}$$

O también lo podemos escribir de la siguiente forma:

$$\boxed{ x \in (\dfrac{3}{2},2) }$$

Nota: si hubiésemos tenido alguna solución en el segundo caso (negativo dividido negativo) entonces la solución del problema iba a ser la unión de las soluciones de ambos casos.