Ejercicios resueltos | Práctica 0 ejercicio 7

EJERCICIO 7: Muestre que el número $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ es solución de la ecuación $x^4-10x^2+1=0$

Solución: Si bien se podrían encontrar todas las soluciones de la ecuación, el enunciado solamente pide demostrar que $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ es solución. Para demostrar que es solución debemos reemplazar cada $x$ de la ecuación por este número y ver que vale la igualdad.

Para esto recordemos como es el cuadrado de un binomio: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

Por lo tanto tenemos que:
$$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2=\sqrt{2}^2+2\sqrt{2}\sqrt{3}+\sqrt{3}^2 = $$
$$=2+2\sqrt{6}+3 = 5+2\sqrt{6}$$
$$\boxed{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2 = 5+2\sqrt{6} } $$
Por otro lado: $$(\sqrt{2}+\sqrt{3})^4 = \left((\sqrt{2}+\sqrt{3})^2\right)^2 $$
$$= \left(5+2\sqrt{6}\right)^2 = 5^2+2\cdot 5\sqrt{6}\cdot 2+ (2\sqrt{6})^2$$
$$= 25+20\sqrt{6}+ 4\cdot 6 = 25+20\sqrt{6}+24 $$
$$\boxed{ (\sqrt{2}+\sqrt{3})^4= 49+20\sqrt{6} }$$

Si reemplazamos $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ en la ecuación tenemos:


$$\begin{eqnarray*}
x^4-10x^2+1 & = & (\sqrt{2}+\sqrt{3})^4-10(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2+1 \\
& = & 49+20\sqrt{6}-10( 5+2\sqrt{6})+1 \\
& = & 49+\cancel{20\sqrt{6}}-50-\cancel{20\sqrt{6}}+1 \\
& = & 0\\
\end{eqnarray*}$$

Por lo tanto $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ es solución de la ecuación.