EJERCICIO 5: Pruebe las siguientes identidades:
(a) $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}= \dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$
Solución: Cuidado: no es una ecuación!!! Debemos probar que ambas expresiones son iguales para cualquier valor de $n$. Para esto debemos elegir uno de los dos términos de la igualdad y llegar a probar que es igual al otro término (sin "despejar").
El "truco" que usaremos en este ejercicio será fundamental para calcular límites de sucesiones en la práctica 3.
Antes de resolver el ejercicio veamos qué es el conjugado de una expresión algebraica y algunas aplicaciones.
El conjugado de un binomio $a+b$ es la expresión que resulta al cambiar el signo que está entre los dos términos, es decir $a-b$.
Ejemplos: 1) El conjugado de $a-b$ es $a+b$ (y viceversa).
2) El conjugado de $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ es $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ (y viceversa).
3) El conjugado de $\sqrt{n^2-n+3}-\sqrt{n^3}$ es $\sqrt{n^2-n+3}+\sqrt{n^3}$.
Si multiplicamos una expresión por su conjugado tenemos la siguiente propiedad:
Propiedad: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
(Esta propiedad se deduce fácilmente aplicando la propiedad distributiva.)
Ahora para probar la identidad del ejercicio usamos la propiedad anterior de la siguiente forma: si multiplicamos y dividimos la expresión del lado izquierdo por su conjugado tendremos la misma expresión original (pues estamos multiplicando por 1)
$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}= (\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\dfrac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}$
En el numerador queda el producto de $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ por su conjugado y podemos usar la propiedad anterior:
$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}= \dfrac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}=\dfrac{(\sqrt{n+1}^2-\sqrt{n}^2)}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} =$
$=\dfrac{n+1-n}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} = \dfrac{1}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}$
Que es lo que queríamos demostrar.
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