Práctica 1 ejercicio 8a -1

EJERCICIO 8: (a) Encuentre en cada caso, una función lineal que satisfaga:

1. $f(1)=5$ y $f(-3)=2$

Solución: La función lineal es una función de la forma: $f(x)= mx+b$ donde $m$ es la pendiente de la recta y $b$ es la ordenada al origen. Entonces debemos encontrar los valores de $m$ y $b$ para que la función cumpla con las dos condiciones que nos piden. Si $f(1)=5$ entonces el gráfico de la función pasa por el punto $(x,y)=(1,5)$.

La función que buscamos es $f(x)= mx+b$ y como $f(1)=5$ tenemos que:
$$f(1)=m\cdot 1+b =5$$
La función que nos piden también tiene que cumplir que $f(-3)=2$, es decir:
$$f(-3)=m\cdot (-3)+b =2$$

Tenemos entonces dos ecuaciones y dos incógnitas. Una forma fácil de resolver este sistema de ecuaciones es restando miembro a miembro:
$$ (m\cdot 1+b )-(m\cdot (-3)+b) = 5- 2$$
$$ m+\cancel{b} +3m- \cancel{b} = 3$$
$$4m = 3$$
$$m = \dfrac{3}{4}$$

Si reemplazamos este valor de $m$ en cualquiera de las dos ecuaciones que teníamos podremos despejar el valor de $b$. Por ejemplo, si reemplazamos en la primer ecuación:
$$f(1)=m\cdot 1+b =5$$
$$\dfrac{3}{4}+b =5$$
$$b =5-\dfrac{3}{4}$$
$$b =\dfrac{17}{4}$$

Por lo tanto la función lineal nos queda:
$$f(x)= \dfrac{3}{4}x+\dfrac{17}{4}$$